Comportamento assintótico do modelo de epidemia SIR

Question

O modelo de epidemia SIR apresenta três equações diferenciais para três variáveis ​​dependentes do tempo $s(t), i(t), r(t)$:

$$\begin{align} \frac{ds}{dt} & = - \beta i s \\ \frac{di}{dt} & = \beta i s - \gamma i \\ \frac{dr}{dt} & = \gamma i \end{align}$$

Presume-se que as variáveis ​​são não negativas, $s(t) + i(t) + r(t) = 1$, e os coeficientes $\beta, \gamma$são positivos. Na literatura, é afirmado ou tomado como evidente que

$$ \lim_{t \to \infty} i(t) = 0 $$

Como esse comportamento pode ser comprovado com rigor?

Answer 1

Primeiro, observe que só precisamos olhar para o diagrama de fase $s\times i$, Desde a $r=1-s-i$. Olhando para o diagrama de fases ignoraremos o tempo (diferentes partes da trajetória serão realizadas em diferentes velocidades), isso é possível porque o sistema é autônomo.

Primeiro, precisamos provar que o sistema converge para algum ponto, então encontraremos os candidatos. Deixei$V(s,i) = s$, temos $\frac{d}{dt}V((s(t), i(t))) = -\beta s(t)i(t) \leq 0$, então, pelo teorema de LaSalle: $$ \lim_{t\to\infty} d( (s(t), i(t)), E) = 0$$ Onde $E = \{ (s,i) : -\beta si = 0 \} = \{ (s,i) : s = 0\text{ or }i=0 \}$.

Agora podemos estudar as trajetórias e encontrar o limite exato.

Observe que se $\exists t^*$ de tal modo que $i(t^*)=0$ ou $s(t^*)=0$acabamos. O caso$i(t^*) = 0$ tem derivada nula e o caso $s(t^*) = 0$ implica que $i(t)$ tem decaimento exponencial.

Uma vez que o SEIR é um sistema autônomo, temos, pelo teorema da função implícita, nos pontos tais que $\frac{ds}{dt} \neq 0$: $$ \frac{di}{ds} = \frac{ \frac{di}{dt} }{ \frac{ds}{dt} } = \frac{\gamma}{\beta s}-1 \Rightarrow i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln{\frac{s}{s_0}} - s + i_0 + s_0 $$

Nós temos $\frac{ds}{dt} \neq 0 \Leftrightarrow s> 0\text{ and }i>0$. E também é verdade que$s$ está diminuindo com $t$ em $s>0$ e $i>0$. Então:$$ \lim_{t\to\infty} i(t) = \inf_{\substack{i>0\\s_0\geq s>0}} \left\{\frac{\gamma}{\beta}\ln{\frac{s}{s_0}} - s + i_0 + s_0 \right\} = 0$$

$$ \lim_{t\to\infty} s(t) = \inf \{ s\geq 0 : i(s) \geq 0 \}$$

O inf acima é bem definido, pois $\lim_{s\to 0} i(s) = \lim_{s\to \infty} i(s) = -\infty$ (apenas por diversão: também tem um máximo de $s=\frac{\gamma}{\beta}$, isso significa que a partir de qualquer ponto de partida com $s> \frac{\gamma}{\beta}$ a infecção vai crescer até $s = \frac{\gamma}{\beta}$ e então começa a decair, quando alcançamos $s\leq \frac{\gamma}{\beta}$ temos a chamada "imunidade ao gado").

Traçando tudo o que temos, temos: