Comportamento local de um módulo localizado em um ideal principal

Question

Deixei $R$ ser um anel comutativo e $p,q$ ser dois ideais principais de $R$ com $q\subset p$. Nós sabemos$(R_p)_{qR_p}\cong R_q $como anéis. Deixei$M$ feijão $R$-módulo. É verdade que$(M_p)_{qR_p}\cong M_q$ Como $R_q$-módulos?

Answer 1

Dado $S^{-1}M \cong S^{-1}R\otimes_R M$ e $(R_p)_{qR_p} \cong R_q$, temos

$$(M_p)_{qR_p} \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} M_p \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} R_p \otimes_R M \cong R_q\otimes_R M \cong M_q$$

que mostra o isomorfismo desejado.