Compreendendo o operador de densidade em mecânica quântica para um sistema de junta

Question

Considere que estamos trabalhando com um sistema conjunto composto pelo sistema A com base $|\alpha_j\rangle$ e sistema B com base $|\beta_j\rangle$, podemos escrever uma matriz de densidade geral para o sistema de junta em relação à base do produto tensorial $|\alpha_j\rangle |\beta_j\rangle$.

Quero entender então como podemos deduzir que o operador de densidade pode ser escrito da seguinte maneira.

$$\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$

Qualquer ajuda para facilitar meu entendimento sobre isso seria muito apreciada.

Answer 1

E se $\big\{|\alpha_j\rangle\big\}$ é uma base para o espaço de Hilbert $\mathcal H_A$ e $\big\{|\beta_k\rangle\big\}$ é uma base para $\mathcal H_B$, então $\big\{|\alpha_j,\beta_k\rangle \big\}$ é uma base para $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$, o espaço natural de Hilbert para o sistema composto. Para clarear a notação, estou definindo$|\alpha_j,\beta_k\rangle \equiv |\alpha_j\rangle \otimes |\beta_k \rangle$.

A partir daí, o operador de identidade $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ pode ser escrito $$\mathbf 1 = \sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|$$

então um operador arbitrário $T$ pode ser escrito

$$T = \mathbf 1 \cdot T \cdot \mathbf 1 = \bigg(\sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|\bigg) T \bigg(\sum_{\ell,m} |\alpha_\ell,\beta_m\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|\bigg)$$ $$ = \sum_{j,k,\ell,m}T_{jk\ell m} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|$$

Onde $$T_{jk\ell m} \equiv \langle \alpha_j,\beta_k| T | \alpha_\ell,\beta_m\rangle$$

Answer 2

Resposta curta: aplique ambos os lados da equação a um vetor de base de Ket arbitrário e as coisas simplificarão muito.

A verdade dessa equação não tem nada a ver com o fato de ser um sistema de juntas, ou de ser um operador de densidade. Seria verdade para qualquer operador e qualquer base ortonormal.

Depois de aplicar os dois lados da equação a um vetor de base, uma maneira de proceder é inverter os dois termos e usar a resolução de identidade.