Construindo resolução projetiva de um complexo de cadeia

Question

Estou tentando construir a resolução projetiva na categoria de complexos em cadeia de

$\dots \to 0 \to M \to 0 \to \dots$

Parece que deveria ser possível fazer isso em termos de resolução projetiva de $M$ mas estou completamente preso.

Eu sei que um complexo de cadeia projetiva é dividido exatamente e formado por projetivos, então se pensarmos na resolução como um complexo duplo de meio plano, a coluna com $M$ deve ser uma resolução projetiva de $M$.

Eu estava tentando usar o truque de $0 \to P \to P \to 0$ é um complexo projetivo sempre que $P$ é projetiva, mas se eu colocar isso no topo de nosso complexo, não necessariamente obteremos exatidão.

Answer 1

E se $$\dots\to P_2\to P_1\to P_0 \to M\to0$$ é uma resolução projetiva de $M$ como um módulo, então $\dots\to0\to M\to0\to\dots$ tem uma resolução (por complexos de cadeia projetiva) na categoria de complexos de cadeia da seguinte forma (vou deixar você descobrir os diferenciais):

$\require{AMScd}$ \ begin {CD} @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_2 @ >>> P_2 \ oplus P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >> > 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> 0 @> >> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 \ end {CD}

Answer 2

Neste caso, você está na categoria de complexos acima limitados, onde um $\textit{projective resolution}$ de um complexo (neste caso $\bar{M}:\cdots\rightarrow 0\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$) significa um complexo delimitado acima de projetivos $P$ com um quase isomorfismo $P\rightarrow \bar{M}$. Então, se você tomar a resolução projetiva usual de$M$ como um módulo, $$\cdots\rightarrow P^{-n}\rightarrow P^{-n+1}\rightarrow\cdots\rightarrow P^{-1}\rightarrow P^{0}\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$$ podemos construir a resolução projetiva de $\bar{M}$ do seguinte modo $\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ cdots @ >>> P ^ {- 1} @ >>> P ^ {0} @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @V {f ^ {- 2}} VV @V {f ^ {- 1}} VV @V {f ^ {0}} VV @V {f ^ {1}} VV @V {f ^ {1}} VV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> \ cdots \ end {CD} onde a seta$f:\bar{P}\rightarrow \bar{M}$ é obviamente um quase isomorfismo.

Na categoria homotópica $K(\mathscr{A})$ (Onde $\mathscr{A}$ é uma categoria abeliana, como a categoria de módulos sobre um anel), você pode generalizar isso e falar sobre $K$- resoluções de projeto, complexos $X$ dentro $K(\mathscr{A})$ que verificam isso $Hom(X,Z)=0\ ,\ \forall Z\in\mathscr{Z}=\lbrace Z\in K(\mathscr{A})\ \text{such that}\ H^{n}(Z)=0\ \forall \ n\in\ \mathbb{N} \rbrace $.

O bom é que se $P$ é um complexo de projetivos delimitado acima, então é $K$-projetivo.