Continuidade de uma retração de deformação incomum

Question

Suponha que recebamos uma cadeia contável de espaços topológicos $X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \cdots$ e deixar $X = \bigcup_n X_n$; e suponha ainda que para cada$n$ temos uma retração de deformação $F_n : X_{n+1} \times I \to X_n$. Eu gostaria de construir uma retração de deformação a partir de$X$ para $X_0$ executando $F_n$ no intervalo de tempo $[1/2^{n+1}, 1/2^n]$, segurando cada ponto de $X_{n+1} - X_n$ estacionário fora deste intervalo.

Estou tendo problemas para mostrar que este mapa é contínuo. Podemos obter continuidade em$X \times (0,1]$ facilmente do lema de colagem, mas não sei como ampliar isso para todos $X \times I$, devido ao comportamento estranho da função no início do intervalo.

EDIT: Acabei de aprender que o mapa não é contínuo em geral, então vamos $X$ ser um complexo CW e o $X_n$é o skeleta associado.

Answer 1

Isso não é verdade em geral, então você terá que descobrir quais hipóteses extras são necessárias para a prova e são verdadeiras em qualquer aplicação que você tenha em mente.

Para um contra-exemplo simples, tome $$X = S^1 = \{(\cos(2 \pi \theta),\sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (0,1]\} \subset \mathbb R^2 $$com a topologia de subespaço. E então pegue$$X_n = \{(\cos(2 \pi \theta), \sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (1/n,1] \} \subset X $$também com a topologia de subespaço. Cada$X_n$ deformação retrai para $(1,0)$, mas $S^1$ não deforma se retrai para $(1,0)$.

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Vou lançar uma situação interessante e ampla em que funciona em geral, ou seja, onde $X$é um complexo CW. A topologia CW pode ser usada para mostrar que a extensão contínua para$X \times [0,1]$ existe.