Convergência quase certa e sequências lacunárias

Question

Existe um exemplo de sequência $X_n$ de variáveis ​​aleatórias de modo que para cada sequência lacunária $n_k$ segura isso $X_{n_k}$ converge quase com certeza para $0$, mas $X_n$ não converge quase com certeza para $0$?

Uma sequência $n_k$ é lacunar quando existe um $\lambda > 1$ de modo a $n_{k+1} > \lambda n_k$ para todos $k$.

Answer 1

O espaço de probabilidade é $[0,1]$com medida Lebesgue.

Deixei $$ X_{2^n + m} = \cases{I_{[m/n^2,(m+1)/n^2]} & if $0 \ le m <n ^ 2$ \\ 0 & otherwise.}$$ Claramente $X_n$diverge em todos os lugares. E se$n_k$ é lacunário, então existe um número fixo $M$ (relacionado a $\log_2 \lambda$) de modo que no máximo $M$ do $n_k$ mentir em qualquer $[2^n, 2^{n+1})$, e o conjunto onde cada um deles é diferente de zero tem medida no máximo $\frac 1{n^2}$. Então, usando o Borel-Cantelli Lemma, vemos que$X_{n_k} \to 0$ Como

Você também pode fazer o $X_n$independente, mas com a mesma distribuição. Então você pode mostrar que$X_n$ diverge usando o segundo Lema de Borel-Cantelli.

Answer 2

Como a resposta aceita deixa claro, o lema de Borel Cantelli torna isso equivalente à questão muito mais fácil de encontrar uma sequência $p_k\ge 0$ isso não é somatório, mas de modo que toda subsequência lacunária seja somatória.

Por exemplo, pegue $p_t$ ser uma função decrescente com $\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}=\infty$, gostar $p_t = 1/t$ para $t\in \mathbb{R}_{+}$. Deixei$X_n$ seja uma sequência de Bernoulli independente $(p_n)$variáveis ​​aleatórias. Então$\sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(X_k> 0) = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k} = \infty$, então quase certamente, esta sequência será $1$ infinitamente frequentemente (da mesma forma, vai ser $0$infinitamente frequentemente). Portanto, com probabilidade$1$, não converge. Por outro lado, para qualquer sequência lacunária$n_k$, haverá algum $\lambda > 1$ de modo a $n_k > \lambda^k n_1$. Portanto,

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(X_{n_{k}} > 0) = \sum_{k=1}^{\infty}p_{n_{k}}\le \sum_{k=1}^{\infty}p_{\lambda^{k}n_{1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n_{1}\lambda^{k}} < \infty $$ e então a probabilidade de que $X_{n_{k}} > 0$ infinitamente frequentemente é $0$ por Borel Cantelli, e assim a sequência converge para $0$ quase com certeza.