Decompor o polinômio simétrico $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ em polinômios simétricos elementares.
O método que estou tentando usar envolve qualquer um (quando nem todos os expoentes são iguais, por exemplo $\Sigma{x_1x_2^2}$) extraindo repetidamente o monômio com os maiores expoentes iguais possíveis (assim, para o exemplo de expoente desigual acima $(\Sigma{x_1})(\Sigma{x_1x_2})$) ou mover o expoente para fora da soma quando todos os expoentes são iguais, como no título da pergunta, ou seja, aquele sobre o qual estou perguntando, então o primeiro passo aqui é $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ = $(\Sigma{x_1x_2x_3})^2$. Obviamente isso é$E_3^2$, junto com os termos que precisam ser subtraídos, com base em quantas variáveis são em comum entre os 2 $E_3$'pecado $E_3^2$: 0, 1 ou 2. Se nenhum for em comum, você pode usar qualquer um dos $E_3$para determinar a escolha de 3 de um total de 6 indeterminados, de modo que o termo seja $2E_6$. Meu pensamento era: se 1 indeterminado é em comum, você obtém uma expressão que precisa ser mais decomposta, ou seja,$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$, isso será multiplicado por $E_2$. Da mesma forma, se Se 2 indeterminados estiverem em comum, você obterá uma expressão que precisa ser mais detalhada, ou seja,$\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$, isso será multiplicado por $E_1$. Até agora, minha tentativa de resolver isso parece estar caminhando em direção à resposta do livro, que é$E_3^2 + 2E_1E_5 - 2E_2E_4 -2E_6$. Mas meu próximo passo para decompor ainda mais$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$ e $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$ levou a termos muito mais complicados, sem cancelamento que eu poderia ver, levando ao conjunto mais simples de termos envolvendo apenas $E_1E_5$, $E_2E_4$, e $E_6$ para subtrair de $E_3^2$. Além disso, o livro está adicionando o$E_1E_5$termo de volta, sugerindo que há uma sequência de decomposições que estou errando, talvez envolvendo cancelamento. Alguém pode mostrar onde estou entendendo errado?
Respostas
A chave para o seu erro é que cada conjunto de $E_6$ não surge simplesmente apenas duas vezes, na verdade surge ${6 \choose 3} = 20$vezes. Por outro lado, dado um$\sum x_1^2x_2x_3x_4x_5$ na verdade existem ${4 \choose 2} = 6$ maneiras de configurar a mesma expressão, enquanto $\sum x_1^2x_2^2x_3x_4$tem apenas duas maneiras de ser configurado. Além disso, os novos monômios criados não são tão simples quanto seus exemplos, o que é fácil de ver, já que toda a expressão deve ter grau 6.
Para explicar, dado um monômio $abcdef$ dentro $E_6$, você pode criar este monômio por meio de $abc \cdot def$, $abd \cdot cef$, etc. Todas as maneiras de escolher 3 elementos de 6 obras. Dado$abcde^2$ dentro $E_5E_1$, você pode criar o monômio por meio de $abe \cdot cde$, $ace \cdot bde$, etc. Todas as maneiras de escolher 2 elementos de 4 obras. Este processo exato é usado para determinar os coeficientes no cálculo abaixo.
Como esse cálculo é tão sujeito a erros, farei o cálculo inteiro do início ao fim, então você pode comparar seus resultados com essas etapas.
Notação: $S_n = E_n, P_{a, b, c, ...} = \sum \limits_{\text{sym}} x_1^ax_2^bx_3^c...$, Onde $S_n$ é uma notação alternativa para polinômios simétricos elementares e $P_{a,b,c...}$ é a abreviatura do tipo Muirhead.
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2P_{2,2,1,1} - 6P_{2,1,1,1,1} - 20S_6$ (Resultado 1)
$P_{2,2,1,1} = S_2S_4-4P_{2,1,1,1,1}-15S_6$ (Resultado 2)
$P_{2,1,1,1,1} = S_1S_5-6S_6$ (Resultado 3)
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2P_{2,1,1,1,1} +10S_6$ (Usando os resultados 1 e 2 -> resultado 4)
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2S_1S_5 - 2S_6$ (Usando os resultados 4 e 3 -> Resposta)
E nós terminamos. Tudo isso é trabalho cuidadoso e computação, nada de louco.