Definição de espaço normalizado e interno do produto

Dec 26 2020

Eu estava lendo algumas páginas da Wikipedia sobre espaços vetoriais normados e espaços de produtos internos e, nas definições, eles sempre falam sobre espaços vetoriais sobre qualquer$\Bbb R$ ou $\Bbb C$.

Isso ocorre porque a maioria dos espaços de produtos internos e normados úteis acabou $\Bbb R$ ou $\Bbb C$ ou esses espaços são definidos apenas para espaços vetoriais sobre esses campos específicos?

Edit: Depois de debater esse tópico nos comentários desta postagem, quero reformular minha pergunta:

Deixei $V$ ser um espaço vetorial sobre um campo $\mathbb F$. Que condição deveria$\Bbb F$ verifique se queremos $V$poder ser um espaço interno de produto? Que tal um espaço vetorial normalizado?

Respostas

philip98 Jan 01 2021 at 01:02

Acredito que funcione em qualquer campo normalizado (pelo menos no espaço normalizado, para espaços de produtos internos, não tenho certeza, já que você precisaria de alguma generalização para conjugação complexa). Um campo normatizado$k$ é um campo equipado com uma norma $||\cdot||: k\to \mathbb{R}_{\ge0}$ de tal modo que

  • $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
  • $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$
  • $||a\cdot b|| = ||a||\cdot||b||$

Se o seu campo $k$ tem uma avaliação discreta $\nu$ que você pode construir uma norma definindo $||x||:=\exp(-a\nu(x))$ para qualquer positivo $a$...

Em qualquer caso, estou certo de que Bourbaki fornecerá a você a definição mais geral.

E se você quiser relaxar a condição que a norma mapeia para $\mathbb{R}_{\ge0}$, Eu acho que também há uma maneira de fazer isso, e mapear para algum tipo de semirregação totalmente ordenada ...