Deixei $f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$. Mostre que o campo de divisão de $f$ sobre $\mathbb{Q}$ tem grau 1, 2, 3 ou 6 sobre $\mathbb{Q}$.
PERGUNTA: Deixe$f(x)= x^3+ax^2+bx+c \in \mathbb{Q}[x]$. Mostre que o campo de divisão de$f$ sobre $\mathbb{Q}$ tem grau 1, 2, 3 ou 6 sobre $\mathbb{Q}$.
O professor deu essa dica, mas continuo sem entender. Preciso resolver isso passo a passo. Usando suas dicas.
DICA: A maior dificuldade seria mostrar que não pode ser maior que 6. Então, basta escolher alguns valores para$a, b$ e $c$. Procure saber por parte de Galois se a extensão tem grau$\leq n!$. Você precisa encontrar polinômios dessa forma que têm campos de divisão de graus$1, 2, 3$ e $6$. E então mostre que não pode ser maior do que isso. Não pode ser maior que 6 porque isso acontece na pior das hipóteses ... Tem uma raiz real que tem um grau$\leq3$ (sempre existe, já que o polinômio tem um grau ímpar, usando o teorema do valor intermediário) e um complexo (que também pode ser real) de grau $\leq 2$. Então o grau de extensão$\leq 6$. Usamos o teorema de valor intermediário porque polinômios de grau ímpar têm uma raiz real.
Eu realmente aprecio sua ajuda se você puder me ajudar.
Respostas
Usamos um teorema fundamental da teoria de Galois, que o grau de uma extensão de Galois é igual à ordem do grupo de Galois dessa extensão. Observe que as extensões obtidas pela adição de raízes de um polinômio com coeficientes no campo são automaticamente extensões de Galois.
A lógica é que desde $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ é cúbico, seu grupo de Galois (ou seja, o grupo de Galois de um campo dividido) será um subgrupo de $S_3$ que tem ordem $6$.
Mais explicitamente, vamos $x_1, x_2, x_3$ ser as (complexas) raízes de $f$. Então certamente$K=\mathbb{Q}(x_1, x_2, x_3)$é um campo de divisão. O grupo Galois$G$ é o conjunto daqueles automorfismos de $K$ aquela correção $\mathbb{Q}$, e assim são determinados por como agem nas raízes. No entanto, uma vez que qualquer correção de automorfismo$f$, a imagem de uma raiz sob qualquer automorfismo ainda é uma raiz, então $G$ permuta as raízes e, portanto, $G$ é um subgrupo de $S_3$.
Agora a segunda parte é encontrar polinômios que têm grupos de Galois $1$, $C_2$, $C_3 = A_3$ e $S_3$.
$1$ é fácil: basta pegar o produto de três polinômios lineares, como $(x-1)(x-2)(x-3)$.
Para $C_2$, você precisa de um polinômio quadrático com raízes não racionais, por exemplo $(x-1)(x^2+1)$.
Para $S_3$, você pode repetir a ideia em $C_2$ mas desta vez dando uma raiz não racional para a parte linear, por exemplo $x^3 -2$.
Obtendo um polinômio com $C_3$ é talvez o mais difícil, mas com um pouco de tentativa e erro ou algum insight adicional sobre um objeto chamado "o discriminante" $x^3 -3x+1$ é um exemplo.
Deixei $L$ seja o campo divisor de $f$ sobre $\mathbb{Q}$. Desde a$\mathbb{Q}$tem característica zero, a extensão é separável e é um campo de divisão, portanto é normal. Portanto$L/\mathbb{Q}$ é uma extensão de Galois.
Sabemos que o grupo Galois $G = \operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ age fielmente nas raízes de $f$ dentro $L$. Existem três dessas raízes$\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3$ então diz $G$ pode ser visto como um grupo de permutações de $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$, o que o torna um subgrupo do grupo simétrico $S_3$. Desde a$S_3$ tem ordem $6$, segue-se que a ordem de $G$ divide $6$, então é $1,2,3$ ou $6$.
É um resultado padrão da teoria de Galois que o grau de uma extensão de Galois é igual à ordem de seu grupo de Galois, então $[L : \mathbb{Q}] = \lvert G \rvert$ é $1, 2, 3$ ou $6$.
Por fim, o comentário de Piquito mostra que cada uma dessas possibilidades realmente ocorre.