Derivação da fórmula Breit-Wigner

Question

Estive examinando essa derivação da fórmula de Breit-Wigner para ressonância na física de partículas, mas não consigo conciliar as etapas com meu conhecimento de QM.

O estado inicial é dado por:

$$ \psi(t)=\psi(t=0)e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}}$$

Aqui surge minha primeira pergunta:

1. A dependência da posição é negligenciada? Se sim, por quê?

Então, é afirmado

$$\textrm{Prob}(\textrm{ find state } |\psi\rangle)\propto e^{-\frac{t}{\tau}} $$

1. Encontrando o estado $|\psi\rangle$Onde? No tempo$t$? O que isto significa?

Agora podemos converter isso para o domínio da energia por Fourier transformando este $\psi(t)$:

$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt}$$

e nós temos

$$f(E)= \dfrac{i\psi(0)}{(E_0-E)-\frac{i}{2\tau}}$$

1. Por que esta é uma transformada de Fourier se o intervalo começa em $0$ e não em $-\infty$?
2. Por que isso é válido? Estou acostumado a converter de posição em espaço de momento, mas tempo-energia é algo que nunca fiz em QM.
3. Além disso, quais são os estados próprios de tempo? Para posição e momento, temos$|x\rangle$ e $|p\rangle$, mas por tempo?

O procedimento prossegue e afirma que a probabilidade de encontrar o estado $|\psi\rangle$ com energia $E$ É dado por

$$|f(E)|^2=\dfrac{|\psi(0)|^2}{(E_0-E)^2+\frac{1}{4\tau^2}} $$

1. Não deveria ser $|f(E)|^2\textrm{d}E$?

Answer 1

Temo que um esteja lutando contra o seu texto não revelado. Todos os bons textos de QM cobrem isso, mas ninguém sabe com o que você está discutindo. O estado é$$ \psi(t)=\psi(0)~e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}},$$ então a probabilidade de não ter decaído é monotonicamente decrescente, $$ |\psi(t)|^2 / |\psi(0)|^2 = e^{-t/\tau}, $$a lei de decaimento exponencial padrão. Poderia se multiplicar com o número de tais partículas para obter uma probabilidade de sobrevivência em massa, por exemplo, de um pedaço de material radioativo.

(1,2) Qualquer dependência de espaço concebível foi integrada fora, uma vez que é irrelevante para a decadência. O estado poderia estar em qualquer lugar e em qualquer lugar no espaço, e sua decadência não seria afetada por considerações de espaço - pense em fazer todas as integrais do espaço com antecedência. O quadrado da função de onda, então, é uma probabilidade de existência, em todo o universo, desse estado, e não uma probabilidade de densidade espacial. Observe que o estado é um estado próprio hamiltoniano, mas o valor próprio não é real,$E_0-i/2\tau$, porque o hamiltoniano não é hermitiano. A probabilidade de existência do estado como uma fração de uma probabilidade inicial de 1, quando você começa a medir o tempo, está, portanto, diminuindo até 0 no tempo infinito.

(3) Seu intervalo de tempo é então [0,$\infty$), e é sobre isso que você integra, então você está fazendo apenas metade de uma transformação de Fourier, uma vez que a transformação de Fourier completa o levaria de volta a um valor infinito (duh!), e você deseja apenas monitorar a probabilidade de sobrevivência em relação ao início tempo 0.

(4) Válido? é uma operação formal:$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt} = \dfrac{i\psi(0)}{(E-E_0)+\frac{i}{2\tau}} ~,$$dando a você uma decomposição espectral de seu estado, e é útil em aplicações não reveladas de seu texto. É essencialmente o propagador do estado instável em questão, fornecendo a amplitude para a decadência.

(6) De fato, normalmente $|f(E)|^2$corresponderia a uma densidade de probabilidade em E , uma distribuição Lorentziana ou Cauchy , cujo FT (completo), como você pode ver, dá a você um$\propto e^{-|t|/\tau}$, metade do qual você está usando aqui.

(5) é obscuro ... O tempo é um parâmetro.