Derivada temporal do mapeamento $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ - gerador infinitesimal

Question

Alguém pode explicar a equação $1$ nisso https://math.stackexchange.com/a/697412/767953de uma forma mais simples? Também não consigo entender como a partir da equação$1$ nós podemos ver isso $u$ é a solução para a equação do calor.

Answer 1

Dica

\ begin {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_ {t + h} f (x) -P_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h \ a 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ direita) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x). \ end {align} Eu deixo você justificar cada igualdade como um dever de casa. Para sua outra questão, pode-se provar que o gerador infinitesimal do movimento browniano é dado por$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ Faça-o como um dever de casa se não estiver claro para você.