Descobrindo $n$ e $d$ de modo a $U_d(n)$ será dado definido.
Este é um post relacionado de alguma forma com este que postei anteriormente . Neste post o problema foi resolvido tão bem, entretanto, não consigo utilizar a mesma ideia na situação atual.
Suponha $n$ é um número inteiro positivo e $d$é seu divisor positivo. E se$U(n)$ ser a coleção de todos os inteiros positivos menores ou iguais a $n$ e coprime para $n$ e $$U_d(n)=\{x\in \mathbb{N}: x\equiv 1\pmod{d}\}$$ como encontrar $n,d$ de tal modo que $$U_d(n)=\{1,13,25,37\}$$ iria segurar?
Claramente aqui $d$ é divisor de mdc de $1-1,13-1,25-1,37-1$ ie $12$. então$d=1,2,3,4,6,12$. Como mostrar$d$ é $12$só? No problema acima, havia apenas dois valores 1 e 7. No entanto, aqui estamos obtendo o divisor composto também.
Depois de mostrarmos isso, como encontrar $n$ então?
Basicamente o que estou procurando é uma abordagem geral, se houver. Alguém pode me ajudar nisso, por favor?
Pós Trabalho
Depois de obter dicas e sugestões (graças a Erik Wong e ao cgss), estou tentando resolver esse problema o máximo que posso.
Pela resposta de Erik, agora eu entendo porque $d=12$só. Portanto$U_d(n)$ torna-se agora $U_{12}(n)$. Além disso,$12$ deve dividir $n$ e $n>37$ e cada membro de $U_{12}(n)$ deve ser da forma $12k+1$. Contudo$25\in U_{12}(n)$ que significa $25\in U(n)$ e entao $(25,n)=1$ implicando $(5,n)=1$. portanto$n$ deve ser 5 grátis.
Consideramos então, $$n=2^{a_1}3^{a_2}.m$$ Onde $a_1\geqslant 2, a_2\geqslant 1, m\in \mathbb{N}$ com $(2.3.5, m)=1$. Então$$U_{12}(n)\simeq U\left(\frac{n}{12}\right)=U(2^{a_1-2}3^{a_2-1}m)$$ sse $(12, \frac{n}{12})=1$. Isso sugere que$a_1-2=0, a_2-1=0$ ie $a_1=2, a_2=1$ de modo a $n$ reduz a $n=2^2 3^1 m$.
Portanto \begin{align*} &|U_{12}(n)|=|U(2^0 3^0 m)|\\ \Rightarrow &4=\varphi(m) \end{align*}
[As respostas reais são $n=48, d=12$. O que significa que agora temos que mostrar$m=1$na equação acima. A solução de$\varphi(m)=4$ está $m\in \{5,8,10,12\}$ Mas como podemos mostrar aqui $m=1$?]
Respostas
Publiquei uma resposta muito mais longa sem supor que $d \mid n$, que admite um bom número de soluções. Explorar esta restrição nos dá uma quantidade significativa de estrutura, ou seja, que$U_d(n)$ é um subgrupo do grupo de unidades $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$.
Desde a $U_d(n)$ tem 4 elementos, cada elemento tem divisão de ordem $4$. Conseqüentemente$n$ deve dividir ambos $13^4 - 1$ e $25^4 - 1$, cujo mdc é 48. Desde $n \ge 37$, deve ser exatamente $48$. Nós facilmente concluímos que$d=12$ uma vez que sabemos $n$.
Primeiro, tentaremos descartar valores menores de $d$. Cada um deles se enquadra em uma das duas categorias$d \mid 4$ e $d \mid 6$ (estes dois casos correspondem aos dois fatores principais de $12$)
Suponha $d \mid 4$: então o fato de que $U_d(n)$ não contém $5$ deve ser porque $n$ é divisível por $5$, mas então isso contradiz $25 \in U_d(n)$.
Suponha $d \mid 6$: então o fato de que $U_d(n)$ não contém $7, 19, 31$ deve ser porque $n$é divisível por todos esses primos. Mas então$n > 169 = 13^2$, então, a fim de evitar $U_d(n)$ contendo $169$ nós precisamos $n$ ser divisível por $13$, contradizendo $13 \in U_d(n)$.
Agora que estamos certos $d=12$, há uma série de opções válidas de $n$, e alguma verificação de caso é inevitável. Em primeiro lugar, no intervalo$37 \le n < 49$, todos os valores de $n$ deve funcionar, exceto para aqueles divisíveis por primos excludentes $5,13,37$.
Depois de verificarmos os valores de $n \ge 49$, precisamos apenas considerar $7 \mid n$. Até$n < 61$, isso também é suficiente para excluir o único $12k+1$ número $49$ isso causa problemas.
Depois de $n \ge 61$, nós precisamos $7 \cdot 61 \mid n$. Mas isso força$n \ge 169$, e como acima sabemos que isso é impossível porque $13 \in U_d(n)$.
O princípio geral em ambas as partes deste argumento (isolar $d$ e depois $n$) é que exclusões devido à não coprimalidade tendem a render limites inferiores cada vez maiores para $n$, e eventualmente forçar $[1,n]$ para conter um número composto apenas de primos sobre os quais sabemos algo.