Desigualdade diferencial em relação à comparação de volume
Deixei $(M,g)$ seja um completo $n$variedade Riemanniana dimensional e deixe $p \in M$. Considerar$(t,\Theta)$ , as coordenadas esféricas geodésicas em torno $p$, Onde $t \in (0,\text{conj}_p(\Theta))$ e $\Theta$ é um vetor unitário em $T_pM$. Deixei$A_p(t,\Theta)$seja a densidade da medida de volume nessas coordenadas, ou seja, \ begin {equation *} d \ operatorname {Vol} = A_p (t, \ Theta) dt d \ Theta \ end {equation *} Um teorema bem conhecido dos estados de Gromov isso se$\operatorname{Ric}(M) \geqslant (n-1)\kappa$, então o mapa \ begin {equation} t \ mapsto \ frac {{A} _p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-1} _ {\ kappa} (t)} \ end {equation} é não - aumentando em$t$. Como sempre,$sn_{\kappa}$é dado por \ begin {align *} sn _ {\ kappa} (t) = \ begin {cases} \ frac {\ sin {\ sqrt {k} t}} {\ sqrt {k}} & k> 0 \\ t & k = 0 \\ \ frac {\ sinh {\ sqrt {-k} t}} {\ sqrt {-k}} & k <0 \ end {cases} \ end {align *} Agora eu gostaria de provar um resultado semelhante quando a curvatura seccional de$M$é delimitado de cima. Ou seja, se$ \text{sec}(M) \leqslant \kappa$, então
\ begin {equation *} \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ direita) + \ kappa \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ right) \ geqslant 0 \ end {equation *} I ' estou tentando imitar o argumento dado por Gromov, permitindo$\varphi(t) = A_p(t,\Theta)^{\frac{1}{n-2}}$ e calcular isso $(\log \varphi(t))' = \frac{1}{n-2}\text{tr}(\text{II}(t))$, Onde $\text{II}(t)$ é a segunda forma fundamental de $\partial B(p,t)$. Mas, uma vez que não estamos provando uma declaração sobre monotonicidade, não sei como posso me livrar do poder$(n-2)$. Diferenciar tal expressão diretamente parece intimidante e tedioso, e acredito que haja um atalho para o problema, pois é muito semelhante à estimativa da norma dos campos de Jacobi. Qualquer visão do problema será apreciada.
$\textbf{Update}$: Outro dia pensei que tinha uma solução, mas depois de verificar novamente, acho que não funciona. Aqui está o que eu fiz:$$\varphi(t) = \frac{A_p(t,\Theta)}{sn^{n-2}_{\kappa}(t)}$$ pode-se usar o truque do cálculo $\varphi'(t) = (\log{\varphi(t)})'\varphi(t) $para calcular que \ begin {align *} \ varphi '(t) & = (\ log \ varphi (t))' \ varphi (t) \\ & = (\ log A_ {p} (t, \ Theta) - (n-2) \ log sn _ {\ kappa} (t)) '\ varphi (t) \\ & = [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] \ varphi (t) \ end {alinhar *} e que \ begin {alinhar *} \ varphi' '(t) & = ((\ log \ varphi (t)) '\ varphi (t))' \\ & = (\ log \ varphi (t)) '' \ varphi (t) + [(\ log \ varphi (t)) '] ^ 2 \ varphi (t) \\ & = \ {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t) } {sn _ {\ kappa} (t)}] '+ [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 \} \ varphi (t) \ end {align *} Observe que$\varphi(t)$ é não negativo quando $t$é pequeno, então para mostrar que a desigualdade original é verdadeira, basta mostrar que \ begin {equation *} [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac { sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}]' + [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {equation *}
Lembre-se da segunda estimativa de comparação (cf Peterson Página 145 Cor 2.4) afirma que, se a curvatura seccional for limitada acima por $\kappa$, então cada componente da segunda forma fundamental pode ser limitado a partir de baixo, ou seja, \ begin {equation *} (\ text {II} (t)) _ {_ {2 \ leqslant \ alpha, \ beta \ leqslant n}} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {k} (t)} {\ text {sn} _ {k} (t)} \ end {equação *} que nos dá \ begin {equation} \ text {tr } (\ text {II} (t)) \ geqslant (n-1) \ frac {\ text {sn} '_ {K} (t)} {\ text {sn} _ {K} (t)} \ tag {$\star \star$} \ end {equation} e \ begin {equation *} \ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t )} \ end {equation *} Pensei em ligar esta expressão de volta$\star$irá resolver o problema, pois \ begin {equation *} (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)})' + ( \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 + \ kappa = 0 \ end {equation *} Mas eu fiz um erro fatal ao declarar que$f \geqslant g$ implica $f' \geqslant g'$! Parece que estou de volta à estaca zero, embora eu tenha uma expressão relativamente agradável. Qualquer insight ou ajuda seria apreciada.
Respostas
Então meu professor me deu uma ideia de como resolver esse problema. Depois de obtermos \ begin {equation *} \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Parte A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Parte B} } + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {equation *} Podemos usar a equação de Riccati para reescrever \ begin {align *} \ text {Part A} = & [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}]' \\ \ geqslant & - \ text {tr} (\ text { II} (t) ^ 2) - (n-1) \ kappa - (n-2) [- (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa] \\ = & - \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) + (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa \ end {align *} E depois de expandir$\text{Part B}$, $\star$torna-se \ begin {align *} & \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t) } {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Parte A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - ( n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Parte B}} + \ kappa \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} (\ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (n-1) (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} ( \ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} \ lambda_ {i} (t) \ lambda_j (t) - [\ lambda_ {i} (t) + \ lambda_ {j} (t)] \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} '+ (\ frac {\ text {sn}' _ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t) }) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} (\ lambda_i (t) - \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} ') (\ lambda_j (t) - \ f rac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}') \\ \ geqslant & 0 \ end {align *} onde$\lambda_{i}(t), i=1,\dots,n-1$ são os valores próprios de $\text{II}(t)$. A última desigualdade segue da comparação Hessiana, indicada no Corolário 2.4 do livro de Petersen.