Diagramas de nós não alternados
Comece com uma curva fechada de auto-interseção, onde cada cruzamento é transversal. Agora forme algo como o oposto de um diagrama de nó alternado da seguinte maneira. Começando em qualquer lugar, percorra a curva e, em cada cruzamento não visitado anteriormente, passe por cima/acima. Se a travessia já foi visitada anteriormente, deixe a designação da travessia atribuída.
Dois exemplos são mostrados abaixo. (a) é claramente o nó desfeito. (b) também é o nó solto, talvez não tão óbvio.
O círculo vermelho indica o ponto inicial, a seta indica a direção transversal.
Eu esperava que esses diagramas obviamente representassem o nó, mas não estou vendo uma prova clara. Então:
Q. _ Prove (ou refute) que tal diagrama de nó sempre representa o nó não resolvido.
Respostas
Um diagrama como você descreve é chamado de diagrama descendente e, de fato, sempre resulta no nó trivial. Para uma demonstração, veja o Lema 3.2.10 dehttp://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf. A resposta anterior tem a ideia certa.
Este é sempre o nó desatado. Fui apresentado a isso por meu orientador, mas também não acho que seja originalmente o argumento dele, então não sei quem fez isso primeiro.
Para ver isso, usaremos o fato de que o número da ponte de um nó é um se o nó for o nó desconhecido.
Desenhe a projeção do nó e escolha o ponto de partida. Faremos essa projeção em um diagrama apenas fazendo cruzamentos à medida que percorremos a projeção. Se a projeção for desenhada no$x,y$avião onde$z=0$, podemos criar um nó em$\mathbb{R}^3$fazendo cada$i$- ª nova travessia a que chegamos ao nível$z=i$. Assim, quando encontramos todos os cruzamentos na projeção e estamos prestes a voltar ao primeiro cruzamento, nosso nó no espaço tridimensional deve cair de algum ponto alto.$z$valor de volta para$z=0$.
O que temos é uma função de altura em que o nó é estritamente crescente em todos os lugares, exceto no pequeno segmento entre o último cruzamento e o primeiro cruzamento. Assim, há um máximo e um mínimo e, portanto, uma ponte número 1 nó, o unknot.
Não tenho certeza de quão útil, já que não sou um especialista, mas aqui está uma ideia que pode estar certa.
Primeiro, introduza a terceira dimensão, perpendicular ao seu desenho, e certifique-se de que o ponto "inicial" seja uma projeção de um segmento reto "para cima". Depois, deve ser possível colocar o resto do nó de forma que, passando ao lado da linha, você só desça. Imagine um helter skelter (com uma escada quase vertical subindo), e você terá uma boa ideia do que quero dizer. Agora, isso é um pouco manual, mas acredito que você pode simplesmente atribuir alturas fixas a cada uma das interseções, à medida que passa por elas no caminho "para baixo" e, em seguida, estender para todos os outros pontos no nó. (Por exemplo, se a parte da "escada" subir da altura$0$para$1$, por$n$cruzamentos, ao passar por cada um duas vezes, você pode reservar as alturas$\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$para os pontos de "interseção" no nó.)
O resto deve ser o cálculo simples para mostrar que esse nó pode ser deformado em um nó. Se a equação do nó original (a parte "slide") for parametrizada como$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$, com$\rho(0)=\rho(1)=0$, então deformá-lo, para$\lambda\in[0,1]$em$(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$.$\lambda=1$dá o nó original, enquanto$\lambda=0$dá um nó óbvio em$x-z$avião.