Diferença entre os termos consecutivos de uma sequência crescente que consiste em inteiros positivos compostos de números primos finitos

Question

Suponha que $\{x_n\}$ é uma sequência crescente cujos elementos são inteiros positivos compostos de números primos finitos $p_1, \dots, p_s$. Eu quero verificar o seguinte limite$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ Eu li um resultado que fornece um limite inferior para a diferença entre os termos consecutivos de $\{x_n\}$na literatura. Esse resultado implica que a diferença entre os termos consecutivos diverge. No entanto, posso mostrar elementarmente que o limite acima é infinito?

Answer 1

This answer from Felipe Voloch on mathoverflow.net is relevant:

Yes, it is true that this kind of equation ax+by=c, where a,b,c are non-zero and fixed and x,y are allowed to only have prime factors in a finite set, has only finitely many solutions. This is a special case of Siegel's theorem on integral points on curves.

Choose $a=1$ and $b=-1$, so that $x-y=c$ has only finitely many solutions for any given $c$. Therefore there are only finitely many pairs $x,y$ with $|x-y|<M$ for any given $M$.

Unfortunately Siegel's theorem is by no means elementary. I suspect that there is no elementary proof.