Dúvida relacionada com a prova de um teorema sobre dimensão de fibras.
- $f:X \rightarrow Y$ser um morfismo de variedades tal que para cada$p\in Y,\, \dim f^{-1}(p) = n$. Então$\dim X=\dim Y+n$. Na prova deste teorema se eu substituir$X$por um conjunto aberto afim porque a dimensão da fibra é a mesma. Por favor explique.
- $f:X \rightarrow Y$ser um morfismo de variedades afins tal que para cada$p\in W,\, \dim f^{-1}(p) =n$para algum subconjunto denso$W$do$Y$. Então$\dim X= \dim Y+n$. Eu tentei escrever uma prova disso, que é a seguinte:
Prova por indução em$\dim Y$. Nada a provar quando$\dim Y=0$. Deixar$X \subseteq A^{r}, Y \subseteq A^{m}$ser subvariedades fechadas.$f=(f_{1},...,f_{m})$, Onde$f_{i} \in K[x_{1},...,x_{r}]$.
Deixar$F \in K[x_{1},...,x_{m}] \setminus I(Y)$.$\quad Y^{'}=Y \cap Z(F)$.
$X^{'}=f^{-1}(Y^{'})=X \cap Z(F(f_{1},...,f_{m}))$.$\quad F(f_{1},...,f_{m}) \in K[x_{1},...,x_{r}] \setminus I(X)$.
$\widetilde{X}$ser um componente irredutível de$X^{'}$.$\quad \dim \widetilde{X}=\dim X-1$.
Existe uma componente irredutível$\widetilde{Y}$do$Y^{'}$de tal modo que$\quad f(\widetilde{X}) \subseteq \widetilde{Y}$.$\quad \dim \widetilde{Y}=\dim Y-1$.
Considerar$f:\widetilde{X} \rightarrow \widetilde{Y}$.
Como posso concluir que a fibra é a mesma? Por favor, resolva isso.
Respostas
Vamos supor irredutibilidade aqui.
Como as aberturas afins são densas, ao restringir a uma abertura afim, você perde uma fibra completamente ou uma fibra simplesmente se torna outro subconjunto denso de si mesma (portanto, não muda de dimensão). Para uma imagem em mente, considere a projeção trivial$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$, onde cada fibra é uma cópia de$\mathbb{P}^1$. Se você restringir a um affine aberto$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$, a fibra torna-se$\mathbb{A}^1$ou vazio (acima do infinito).
Intuitivamente, se você considerar o mapa de álgebra$f^*:B=\Gamma(Y)\to A=\Gamma(X)$, então qualquer ideal maximal genérico$\mathfrak{m}$é mapeado para algum ideal primo$P$que pode ser estendida a uma cadeia$P\subset P_1\subset\cdots \subset P_n$. Notar que$f^*$deve ser injetivo (não exatamente, mas vamos assumir isso aqui), então o ideal maximal tem uma cadeia$P'_0\subset\cdots\subset P'_{\text{dim}(Y)}=\mathfrak{m}$, e a imagem desses primos ainda é primo; então você tem uma longa cadeia de comprimento$\dim(Y)+n$dentro$\Gamma(X)$. Não tenho certeza se concluir isso para uma prova completa é mais fácil ...