É a densidade assintótica de inteiros positivos $n$ satisfatório $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ igual a zero?

Question

(Esta postagem é um desdobramento desta questão MSE .)

Deixei $\sigma(x)$ denotam a soma dos divisores de $x$. (https://oeis.org/A000203)

QUESTÃO

É a densidade assintótica de inteiros positivos $n$ satisfatório $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ igual a zero?

Tentei pesquisar exemplos e contra-exemplos para a equação $$\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$$via Sage Cell Server , ele me deu esta saída para o seguinte script Pari-GP :

for(x=1, 100, if(gcd(x,sigma(x^2))==gcd(x^2,sigma(x^2)),print(x)))

Todos os inteiros positivos de $1$ para $100$ (exceto para o inteiro $99$) satisfazer $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$.

Generalizando o primeiro (contra) exemplo de $99$ é trivial.

E se ${3^2}\cdot{11} \parallel n$, então $11 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ e $11^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. Portanto, a densidade assintótica em questão é menor que$$1-\frac{2}{3^3}\cdot\frac{10}{11^2} = \frac{3247}{3267} \approx 0.993878.$$

Também se $3 \parallel n$, então com probabilidade $1$ existem dois primos distintos $y$ e $z$ congruente com $1$ modulo $3$ de tal modo que $y \parallel n$ e $z \parallel n$. Neste caso, temos$3 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ e $3^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. Portanto, a densidade assintótica em questão é menor que$$1-\frac{2}{3^2} = \frac{7}{9} \approx 0.\overline{777}.$$

O verdadeiro problema em aberto é se a densidade assintótica é $0$.

Answer 1

Acho que a densidade chega a zero, mas bem devagar. E se$p \equiv 1 \bmod 6$ é primo, então existem duas soluções $0<r<s<p-1$ do $$x^2+x+1=0 \bmod p$$

E se $p\parallel n$ então, com probabilidade $1,$ existem dois primos distintos $x $ e $ y,$ cada congruente com $r \bmod p,$ com $x \parallel n$ e $y \parallel n.$ (Um ou ambos podem ser congruentes com $s$ também.)

Então $p \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ enquanto $p^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2)).$ Portanto, a densidade assintótica para que isso não aconteça é $1-\frac{p-1}{p^2}<1-\frac{1}{p+2}$

Se pudermos argumentar que a chance de nenhum desses eventos acontecer é assintoticamente $\prod(1-\frac{p-1}{p^2})$ sobre os primos congruentes com $1 \bmod 6,$ então essa densidade assintótica é $0.$