É $C^{*}$-álgebra a forma mais moderna de estudar QFT?

Question

Eu não sou um especialista em QFT ou $C^{*}$-álgebras, mas estou tentando aprender o básico do QFT. Em todos os livros / artigos e outros materiais que eu conheço, QFT é estudado principalmente usando muita análise funcional e teoria da distribuição, mas sei que algumas construções algébricas também estão sendo usadas, e neste contexto$C^{*}$-álgebras parecem ser a ferramenta mais moderna. Então, o que um aluno inexperiente como eu deve saber sobre essas abordagens de QFT e mecânica estatística? Qual é o papel de$C^{*}$-álgebras e outros métodos algébricos nessas teorias? Quais são os problemas que eles se adaptam melhor? Se eu gostaria de estudar QFT, eu tenho que aprender$C^{*}$-álgebra? Existem problemas nos quais os métodos algébricos não se encaixam bem? Existem problemas em que qualquer abordagem é frutífera? O que se perde por não conhecer essas construções algébricas?

ADICIONE: Eu trabalho com mecânica estatística rigorosa, mas estou tentando aprender um pouco de QFT porque ... bem, essas são duas áreas relacionadas em algum nível. No entanto, ainda não sei o que ou quanto preciso aprender sobre o QFT. Tenho experiência em análise funcional e teoria da distribuição, mas não em$C^{*}$-álgebra. Como um estudante inexperiente, será muito útil obter uma imagem geral, ou seja, quais são os problemas que se está tentando resolver no QFT e onde cada uma dessas abordagens entra em jogo. Acho que cada uma dessas ferramentas é aplicável a diferentes tipos de problemas ou mesmo diferentes subáreas da teoria, mas não tenho certeza.

Answer 1

Meu trabalho de PhD usou C * -algebras com bastante frequência, então acho que posso reivindicar algum conhecimento lá, mas não sou um especialista em QFT. Essa será a principal perspectiva da minha resposta.

Um bom ponto de partida para esta discussão é o teorema de Stone-von Neumann, um resultado fundamental em álgebras de operadores e mecânica quântica. A configuração é basicamente o princípio da incerteza de Heisenberg, que afirma que as operações de medição da posição$x$ e o impulso $p$ de um sistema quântico não comuta:

$$[x,p] = 2\pi i h$$

Uma importante questão matemática sobre a mecânica quântica em sua história inicial era: que tipo de objetos são$x$ e $p$? Os físicos querem que eles sejam operadores auto-adjuntos em algum espaço de Hilbert, mas você pode provar rigorosamente que nenhum par de operadores limitados tem essa propriedade. Este resultado pertence à teoria da representação de álgebras de Lie - essencialmente, a álgebra de Lie com dois geradores e a relação acima não tem representação por operadores auto-adjuntos limitados no espaço de Hilbert.

A ideia de Stone e von Neumann era focar no grupo de Lie em vez da álgebra de Lie; a relação acima é a derivada em 0 da seguinte relação entre operadores de evolução no tempo$U(t)$ e $V(s)$:

$$U(t) V(s) = e^{-ist} V(s) U(t)$$

O grupo de Lie gerado por tais $U$ e $V$é chamado de grupo de Heisenberg , e o teorema de Stone-von-Neumann afirma que esse grupo tem uma representação unitária única no espaço de Hilbert, até a equivalência unitária (e alguns adjetivos que não vou entrar aqui). Isso fornece uma boa base para a mecânica quântica básica que unifica as imagens de Heisenberg e Schrõdinger da teoria em um conjunto de axiomas.

Para lidar com sistemas quânticos mais complicados, precisamos generalizar para mais operadores que satisfaçam relações possivelmente mais complicadas. Veja como funciona essa generalização:

• Comece com um grupo localmente compacto $G$; para o teorema original de Stone-von-Neumann,$G = \mathbb{R}$.
• A transformada de Fourier determina e isomorfismo $C^*(G) \to C_0(\hat{G})$, Onde $C^*(G)$ é o grupo C * -álgebra e $\hat{G}$ é o Pontryagin dual.
• Tal isomorfismo é equivalente a uma representação unitária da álgebra de produto cruzado $C_0(G) \rtimes G$.
• Todas as irreps desta C * -álgebra são unitariamente equivalentes.

Portanto, agora temos a mecânica quântica para sistemas com muitas partículas. Mas e o QFT? A razão básica pela qual QFT é difícil, como eu o entendo, é que o teorema de Stone-von-Neumann não é mais verdadeiro.

Para a mecânica quântica comum, os espaços de fase clássicos são variedades de dimensão finita - por exemplo, o espaço de fase clássico de uma única partícula voando em $\mathbb{R}^3$ é $\mathbb{R}^6$. O análogo clássico do espaço de fase na teoria quântica de campos, no entanto, é o espaço de caminhos em$\mathbb{R}^3$, que é uma espécie de variedade dimensional infinita. Isso significa que infinitamente muitos operadores com infinitamente muitas relações de comutação, e os grupos de Lie de dimensão infinita correspondentes, na medida em que eles existem, têm uma teoria de representação muito mais complicada.

Agora posso tentar responder à sua pergunta. As álgebras de operadores foram mais ou menos inventadas para fornecer um bom modelo para a mecânica quântica. A boa propriedade que este modelo possui - a saber, que há apenas uma realização dele até a equivalência unitária - não é mais verdadeira no QFT. Portanto, um objetivo (implícito) de muito trabalho em QFT é lidar com essa situação e buscar melhores bases. Não tenho ideia se C * -álgebras são a melhor maneira ou a mais moderna de pensar sobre QFT - provavelmente não - mas um bom lugar para começar para um aluno é aprender o teorema de Stone-von-Neumann em alguma generalidade razoável, pois podemos culpo muito a dificuldade do QFT em sua ausência.

Answer 2

Novamente, uma resposta provisória de um não especialista: provavelmente alguém que é um verdadeiro Mestre Jedi em Física Matemática / Álgebras do Operador irá intervir.

No QM clássico, começa-se a partir de um espaço de estados de Hilbert $H$, e constrói a partir daí, olhando para tipos especiais de operadores agindo em $H$(unitário para simetrias e hermitiano para observáveis). Então, em certo sentido, as álgebras de operadores estão lá desde o início, embora no QM clássico pareça e sinta-se como se as entidades básicas fossem estados (quânticos) e as secundárias fossem processos (operadores).

Mas acho que é justo dizer que o movimento tem sido no sentido de inverter a ordem, em certo sentido começando com a álgebra de operadores abstratos e então modelando o conjunto de estados usando a infame dualidade de Gelfand. O que acabei de esboçar é um bate-papo de supermercado sobre Teoria Algébrica de Campos Quânticos (você pode encontrar um resumo aqui ).

Você pode perguntar por quê: não tenho certeza, mas para mim parece que o movimento em direção aos processos em oposição aos estados faz sentido

1. matematicamente (por exemplo, ele se conecta com a geometria não comutativa de Connes, onde se trabalha diretamente em álgebras não comutativas como se fossem álgebras de funções sobre um espaço fantasma não comutativo). As álgebras são boas o suficiente para capturar a topologia e geometria do espaço fantasma, e também se prestam a maquinários mais abstratos
2. fisicamente. Há uma consciência crescente de que QM / QFT trata de processos / interações, ao invés de um mundo no qual os sistemas existem por si mesmos. Veja, por exemplo, a Interpretação Relacional de Rovelli , para citar apenas uma opção.

ADENDO: então, as álgebras C * são a mais nova ferramenta para QFT? A resposta é: qual QFT você tem em mente? Por exemplo, em Quantum Gravity a resposta é definitivamente não. Lá as pessoas brincam com todos os tipos de guloseimas, indo da teoria das categorias superiores à já mencionada geometria não comutativa, a ... praticamente qualquer coisa sob o sol, e até um pouco mais.