É $f(x,y)=\frac{xy^3}{x^2+y^6}$ diferenciável em $(0,0)$? [duplicado]

Aug 19 2020

A seguinte função é diferenciável em $(0,0)$?

$$ \ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^3}{x^2+y^6} & \text{if } (x,y) \ne (0,0), \\ 0 & \text{if } (x,y) = (0,0). \end{cases} $$

Eu descobri que ambas as derivadas parciais são $0$e tentei calcular o seguinte limite:

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{xy^3}{x^2+y^6}}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{(x^2+y^6) \sqrt{x^2+y^2}}$$

E então eu fiquei preso. Tentei o teorema do aperto, mas ainda não consegui calculá-lo.

Como posso calcular esse limite?

Respostas

4 JoséCarlosSantos Aug 19 2020 at 00:29

Não é nem contínuo em $(0,0)$. Dica: $f(y^3,y)=\dfrac12$ E se $y\ne0$.

2 user Aug 19 2020 at 00:37

Lembre-se de que a continuidade é uma condição necessária para diferenciabilidade, uma vez que diferenciabilidade implica continuidade e por$y^3=v \to 0$ usando coordenadas polares, temos

$$\frac{xy^3}{x^2+y^6}=\frac{xv}{x^2+v^2}=\cos\theta\sin \theta$$