É possível classificar subespaços não fechados do espaço de Hilbert?
Deixar $H$ seja o espaço de Hilbert.
Motivado por minha pergunta anterior sobre funcionais lineares descontroladamente descontínuos , que podem ser interpretados como uma tentativa de classificar hiperplanos densos em$H$, deixe-me ir direto ao ponto:
Perguntas .
Existem diferenças significativas entre hiperplanos densos em $H$?
Se $L$ e $M$ são dois hiperplanos densos em $H$, existe um mapeamento de operador unitário $L$ para $M$?
Supondo que a resposta a (2) seja negativa, quantas órbitas existem para a ação natural do grupo unitário $\mathscr U(H)$ no conjunto de hiperplanos densos?
Falando sobre subespaços gerais (não necessariamente fechados ou densos) de $H$, existem algumas coisas que se pode dizer a esse respeito.
Por exemplo, nem todos esses espaços podem ser descritos como o intervalo de um operador limitado e, em particular, nenhum hiperplano denso se qualifica. Isso porque, se a faixa de tal operador tiver co-dimensão finita, ela deve ser fechada (isso segue facilmente do Teorema do Grafo Fechado).
O intervalo de um operador compacto não contém nenhum subespaço fechado de dimensão infinita, de modo que essa é outra propriedade que pode ser usada para classificar subespaços.
Mais perguntas .
Existe uma condição necessária e suficiente, expressa em termos topológicos / analíticos, caracterizando a faixa de um operador limitado (resp. Compacto) entre todos os subespaços de $H$?
Quantas classes de equivalência unitária de subespaços não fechados de $H$existem? Quantos deles podem ser descritos em termos topológicos / analíticos?
Respostas
Acho que tenho uma resposta simples para a pergunta 4, no caso compacto: um subespaço de dimensão infinita $E\subseteq H$ é o intervalo de um operador compacto se houver um conjunto ortogonal (em oposição ao ortonormal) $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, de tal modo que $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ e $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ Isso decorre facilmente do Teorema Espectral para operadores compactos e do fato de que o alcance de um operador compacto $T$ coincide com o intervalo de $|T|$.