É possível fazer cálculo e geometria diferencial à moda antiga, sem nenhuma estrutura ou eixo orto? [fechadas]
Edit: (Eu não pretendia isso como um insulto ou um debate discutindo qual caminho é melhor ou melhor para quê, estou apenas fazendo uma pergunta pelo meu interesse e acredito no interesse da ciência, pelo menos por causa da variedade. . Eu não idealizo nenhum homem ou trabalho, a única razão pela qual eu mencionei principia é para me poupar o trabalho de responder a uma sequência interminável de perguntas sobre como irei praticamente calcular sem uma base, então é por isso que chamei a mais alta autoridade em a este respeito.
Sei que as coordenadas são úteis quando usadas corretamente, só tenho problema quando as pessoas dizem que você deve usá-las em cálculos práticos e não pode ser feito de outra forma. As formulações invariantes são mais úteis a longo prazo, quando se trata de unificação de diferentes áreas e de atacar os problemas mais profundos que quase sempre requerem algum nível de unificação. Se alguém estiver genuinamente interessado nos detalhes, especialmente para fins de pesquisa, posso elaborar mais sobre isso.)
Basicamente, sem colar nenhuma estrutura não existente (não intrínseca) em um espaço real, que para a geometria euclidiana é um espaço afim euclidiano de pontos. .
A maneira como eles fizeram geometria dos antigos gregos a Descartes.
As coordenadas e seus mapas são a base da geometria diferencial padrão. A teoria é livre de coordenadas, mas repleta de objetos não geométricos e com a necessidade de provar que objetos geométricos não são apenas um absurdo de coordenadas.
Estou procurando uma teoria incluindo operadores diferenciais que se baseie diretamente na abordagem pré-Descartes da geometria.
Newton desenvolveu todo o principia mathematica dessa forma, e acredito que ele poderia ter usado cálculo com essa abordagem geométrica.
Existe alguma exposição que lidaria com operadores diferenciais, como derivada covariante, campos vetoriais e formas diferenciais, sem assumir qualquer geometria analítica (coordenada)
Respostas
The Geometry of Geodesics , de Herbert Busemann, fornece uma abordagem puramente intrínseca para uma grande parte da geometria diferencial, através de axiomas na métrica.
Ele não define derivadas covariantes - mas define geodésicas sem elas, como mapas que preservam o comprimento da linha real.
Ele não define campos vetoriais - mas analisa os movimentos, que são um análogo finito dessa noção infinitesimal.
Não define formas diferenciais - mas define curvatura escalar sinteticamente.
Busemann então provou todo um livro de teoremas impressionantes com base nisso. (Eu dei alguns exemplos em Caracterizações do espaço euclidiano ) Se você quiser um resultado na geometria Riemanniana que possa ser declarado sem definições de coordenadas, provavelmente encontrará uma prova lá.
Acho que você está fazendo uma pergunta razoável, mas muitos não gostam da sua maneira de fazê-la. Seria melhor recebido se você pudesse expressá-lo de forma mais rigorosa e matematicamente e mostrasse que refletiu sobre ele mais profundamente do que seu texto indica. Afinal, este é um fórum de pesquisa matemática. Mas deixe-me fazer alguns comentários.
A primeira coisa é Newton contra Descartes. Nunca li as obras de Newton, então posso estar errado. Mas, uma vez que Descartes precedeu Newton, acredito que Newton deve ter adotado as coordenadas cartesianas e as usado em seu trabalho sobre o movimento planetário e a forma da Terra. Não é assim?
Quanto ao desenvolvimento da geometria diferencial sem coordenadas, muitos matemáticos, inclusive eu, tentaram. Não tenho certeza se você está falando sobre superfícies no espaço euclidiano ou espaços abstratos conhecidos como variedades. Em qualquer caso, minha impressão é que as etapas mais difíceis estão logo no início. Primeiro, você precisa desenvolver cálculos multivariáveis sem coordenadas. Isso pode ser feito, mas vale a pena a dor? Não que eu saiba, mas você pode ver se consegue. Eu definitivamente posso estar errado sobre isso. Em segundo lugar, está definindo o que é uma superfície ou variedade.
Alguns matemáticos de mente muito abstrata conseguiram fazer isso para variedades, mas você perde toda a intuição geométrica e acaba em um mundo muito algébrico. Vale a pena a dor? Além disso, não tanto quanto eu posso dizer. Depois de definir uma variedade, você pode trabalhar os fundamentos da geometria Riemanniana usando apenas campos vetoriais abstratos. Isso é demonstrado tanto na monografia de Milnor, Teoria de Morse, quanto no livro de Cheeger e Ebin, Comparison Theorems in Riemannnian Geometry .
Quanto a uma superfície no espaço euclidiano, você poderia primeiro definir o espaço euclidiano como um espaço vetorial abstrato com um produto interno. Em seguida, você pode definir uma superfície como o conjunto de níveis de uma função cujo gradiente é diferente de zero e trabalhar com derivados da função (sem usar coordenadas). A geometria da superfície agora pode ser derivada do estudo de curvas na superfície e seus derivados. Parte disso é muito bom, mas alguns aspectos ainda são mais fáceis de calcular e entender usando coordenadas. Em particular, é difícil trabalhar com exemplos sem usar coordenadas.
No entanto, a longo prazo, o que os geômetras diferenciais profissionais descobrem é o seguinte: Nosso principal objetivo é provar novos teoremas interessantes da forma mais eficiente possível. A abordagem mais eficiente depende das circunstâncias específicas. Então, descartamos a ideologia e aprendemos pragmaticamente como usá-los todos. Alternamos entre eles conforme necessário. Portanto, o fato é que usar as coordenadas geralmente é a maneira mais fácil. A razão básica para isso é comutar derivadas parciais. Esse fato é fundamental e usado o tempo todo. Sem o uso de coordenadas ou formas diferenciais (como no caso de quadros ortonormais), esse fato é difícil de usar com eficiência.
Eu continuo a pensar sobre tudo isso no contexto do ensino de geometria diferencial. Eu concordo que as coordenadas muitas vezes podem obscurecer o que realmente está acontecendo. Não gosto da maioria dos livros didáticos sobre geometria diferencial elementar. Portanto, tento pensar em abordagens livres de coordenadas que elucidem melhor a geometria. Às vezes consigo. Caso contrário, são coordenadas ou quadros ortonormais. O que funcionar melhor.
É possível fazer geometria diferencial de uma maneira puramente intrínseca, pelo menos depois de ultrapassar o obstáculo inicial de definir o que é uma variedade. A definição padrão de uma variedade é uma segunda contagem, Hausdorff, espaço local euclidiano , portanto, gráficos de coordenadas aparecem naturalmente (devido a essa última parte). Pode ser possível evitar completamente os gráficos, mas quase requer uma nova definição para manifold. Mas, depois de superar esse problema, você pode fazer todo o resto de uma forma sem coordenadas, se quiser.
A verdadeira razão pela qual a maioria dos geômetras não faz isso é que torna os cálculos explícitos extremamente difíceis. Abordagens intrínsecas e notação têm um apelo filosófico, mas são inadequados para muitas aplicações, onde você pode precisar calcular seis ou sete derivados. Escolher um gráfico de coordenadas conveniente (ou quadro ortonormal) para tornar a análise mais fácil vale absolutamente a pena perder a simplicidade conceitual. Na verdade, existem insights que podem ser encontrados usando uma escolha particular de coordenadas que são quase impossíveis de ver (ou fundamentalmente mais difíceis de provar) usando uma abordagem mais abstrata.