É possível ter uma pré-ordem com diferentes tipos de morfismos?
Eu não sou um matemático, muito novo na teoria das categorias e teria a seguinte pergunta:
É possível ter uma pré-ordem com diferentes tipos de morfismos? Cada par entre cada objeto ainda tem apenas um morfismo. Entretanto, o morfismo em questão é sempre diferente (exceto o morfismo de identidade).
Um exemplo informal: Seguindo a abordagem de David Spivaks [1] Olog, imagine um cachorro faminto que sempre come a comida comprada por seu dono.
Considere três objetos: Um dono de cachorro O, um Cachorro D e Comida de cachorro F. Além disso, considere quatro morfismos: "possui", "come", "compra" (abreviação de "compra comida de cachorro", que é a única coisa que ele compra) e " é".
Cada um dos objetos são eles mesmos, então há um morfismo "é" de cada objeto para si mesmo. Consequentemente, D "possui" O, O "come" F e D "compra" F. Finalmente, o cão está, por definição, sempre com fome e come toda a comida que lhe é dada, por isso deve conter que
"possui" o "come" = "compra".
A questão neste caso: isso seria uma encomenda? Ele cumpre todos os critérios para uma categoria: morfismos de identidade e composicionalidade são dados. Seguindo [2], também cumpre os critérios para uma pré-encomenda de que "um proset é uma categoria fina (estrita): uma categoria estrita tal que para qualquer par de objetos x, y, há no máximo um morfismo de x para y. "
No entanto, não vi nada semelhante em nenhum dos exemplos usuais: ⊆ e ≤ são os exemplos usuais para pré-encomendas e são os únicos morfismos aplicados aos objetos na categoria.
Atenciosamente Pavel
PS: Eu não poderia dar um exemplo mais "formal", o que pode ser um indicador de que estou no caminho errado.
FONTES:
[1] Spivak, David I, Robert E. Kent, "Ologs: A Categorical Framework for Knowledge Representation" https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0024274
[2] https://ncatlab.org/nlab/show/preorder
Respostas
Sim, esta é uma encomenda. Um dos principais insights da teoria das categorias é que frequentemente, propriedades abstratas de objetos (e morfismos entre eles) são mais importantes do que suas descrições concretas. Como você apontou, a categoria que você descreveu não "parece uma encomenda", porque os morfismos não recebem nomes como$\subseteq$ ou $\leq$. Mas a teoria das categorias não se preocupa com nomes. Sua categoria satisfaz a definição de uma pré-encomenda, então, por exemplo, se você tivesse algum teorema sofisticado sobre pré-vendas, seria perfeitamente válido aplicá-lo a esta categoria.
A resposta curta é sim. Os nomes / significados dos morfismos não fazem parte dos dados: o que importa é como os morfismos se compõem. Lembre-se que definir uma categoria é especificar o conjunto de objetos, e o conjunto de morfismos (junto com as identidades e composição). (Pode ser que$\{ \text{owns}, \text{eats}, \text{buys} \}$ não é, estritamente falando, um conjunto bem formado, porque a priori os elementos não foram definidos, embora em geral seja inofensivo considerá-lo um conjunto, porque tomar qualquer conjunto de cardinalidade 3 será adequado.) Portanto, sinta-se à vontade para rotular os morfismos como quiser: se você esquecer os nomes e apenas considerar o gráfico subjacente junto com a estrutura da composição, verá que tem exatamente uma encomenda.