E se $ \bigtriangleup ABC$: $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, com altura $AD$ e mediana $AK$. Provar $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC.$

Question

E se $\triangle ABC$ é um triângulo e $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, com altura $AD$ e mediana $AK$; Suponha que$D$ está entre $B$ e $K$.

1. Provar que $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC$.
2. Então, prove que $\angle BCA= \frac\pi 8$ E se $|AD|=|DK|$.
3. Conclua isto $$\sin\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2};\quad \cos\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2};\quad \operatorname{tg}\frac \pi 8= \sqrt 2 - 1$$

Já consegui o sorteio, mas não sei bem por onde começar.

Eu sei disso $\bigtriangleup DBA \sim \bigtriangleup DAC$

Answer 1

Considere a circunferência de $\triangle ABC$. Desde a$\angle A=\frac{\pi}{2}$, subtende o diâmetro, portanto $K$ é o circuncentro e $$KA=KB=KC\tag{1}$$

1. Desde a $\triangle KCA$ é isósceles, $\angle KCA=\angle KAC$.
   Dentro$\triangle ABD$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, portanto $\angle BAD=\frac{\pi}{2}-\angle ABD$, mas $\frac{\pi}{2}-\angle ABC=\angle ACB$, portanto $\angle BAD=\angle ACB=\angle KAC$, QED.
2. Dentro $\triangle ADK$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, portanto $|AD|=|DK|$ $\Rightarrow$ $\angle A=\angle K=\frac{\pi-\angle D}{2}=\frac{\pi}{4}$.
   Desde a$\frac{\pi}{4}=\angle AKD=\angle KAC+\angle KCA$ e $\angle KAC=\angle KCA$, portanto $\angle ACK=\frac{\pi}{8}$, QED.
3. Dentro $\triangle ADC$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ e $AK=KC=AD\sqrt{2}$ portanto $$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{AD}{DK+KC}=\frac{AD}{AD+AD\sqrt{2}}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,$$ as outras funções de $\frac{\pi}{8}$ são feitos usando $$\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\operatorname{tg}^2\theta,\quad \frac{1}{\sin^2\theta}=1+\operatorname{ctg}^2\theta.$$

Answer 2

Deixei $D$ ser colocado entre $K$ e $B$.

Assim, desde $AK$ é uma mediana, obtemos $$AK=CK=KB,$$ que dá $$\measuredangle BAD=90^{\circ}-\measuredangle ABC=\measuredangle BCA=\measuredangle KAC.$$

Answer 3

1. Desde que você descobriu que $\triangle DBA \sim \triangle DAC$, use a propriedade de que os ângulos correspondentes de triângulos semelhantes sejam iguais. Além disso, observe que$AK=KC$, conseqüentemente $\triangle KAC$ é isósceles.

2. E se $AD=DK$, temos $\angle DKA=\angle KAD=45°\implies\angle AKC=135°$. Portanto,$\triangle KAC$ sendo isósceles, temos $\angle BCA=22.5°=\frac{π}{8}$.

3. Nós temos $AK=KC=\frac{a}{2}\implies AD=DK=\frac{a}{2\sqrt 2}$. Dentro$\triangle ADC$, $$\tan\angle DCA=\tan\frac{π}{8}=\sqrt 2-1$$