E se$\int\limits_a^bf(x)dx=0$para todos os números racionais$a<b$, então$f(x)=0$ae [duplicado]

Question

Deixar$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$seja uma função integrável.
Mostre que se$\int\limits_a^bf(x)dx=0$para todos os números racionais$a<b$, então$f(x)=0$tudo mais em todos os lugares.

Dica: Primeiro prove$\int\limits_Af=0$por$A$um conjunto aberto, então para$A$mensurável.

Minha tentativa: Deixe$A$um conjunto aberto em$\mathbb{R}$. Então podemos escrever$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$Onde$\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$é uma coleção disjunta de intervalos abertos com pontos finais racionais (isso é possível?)

Então$\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$

Então, como devo usar o resultado para mensuráveis$A$e, além disso, depois de fazer isso,$\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$implica$f=0$ae?
Agradeço sua ajuda

Answer 1

Eu acho que é simples. Deixar$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$

$\mu (D)$é a medida do conjunto$D$. Nós sabemos$\mu (A)=0$e$\mu (B)=b-a$. Integral de Lebesgue:$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$Porque$\int_{A} f(x)d\mu=0$( Porque$f(x)=0$em quase todos os lugares) e$\int_{B} f(x)d\mu=0$

Answer 2

Você pode fazer um truque clássico para definir a coleção

$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$

e então mostre que$\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$. Desde$f$é mensurável, o resultado final desejado seguirá porque, caso contrário,$\pm \int_{B_\pm} fdx>0$Onde$B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$.

Você pode verificar mais tarde que$\mathcal{E}$é um$\sigma$-álgebra, então se você mostrar que$A\in \mathcal{E}$para qualquer conjunto aberto$A$, então seguirá que$\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$.

Finalmente, como os intervalos com pontos finais racionais são uma base contável da topologia em$\mathbb{R}$, para qualquer aberto$A\subseteq \mathbb{R}$existe uma coleção de intervalos com pontos finais racionais,$\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$de tal modo que$A=\cup (a_k,b_k)$. Usando o DCT, você obtém isso$\int_A f =0$.