E se $X = \{ |p(z)|<c\}$, mostram que o limite de $X$ é $\{ |p(z)| = c\}$ e cada componente de $X$ contém um zero de $p$.

Aug 16 2020

Estou tentando problemas de análise complexa de um instituto no qual não estudo e me surpreendi com esse problema específico.

Deixei $p$ ser um polinômio não constante, $c>0$ e $X=\{z:p(z)<c\}$. Provar que$\partial X=\{z:|p(z)|=c\}$ e também cada componente conectado de $X$ contém um zero $p$.

Tentativa: Deixe $C$ ser componente conectado de $X$. Então$\partial C$ é um subconjunto de $\partial X$ e entao $|p(z)| \leq c$. Mas não consigo pensar em nenhum outro argumento além deste.

Portanto, gentilmente esclareça como esse problema deve ser abordado.

Respostas

1 zhw. Oct 04 2020 at 03:17

Propriedades simples de $p$:

i) desde $p$ é um polinômio não constante, $p$assume todos os valores complexos. Assim, os conjuntos$X=\{|p|<c\}$ e $\{|p|=c\}$ não estão vazios.

ii) O conjunto $X$ é aberto pela continuidade de $|p|.$

iii) $|p(z)|\to \infty$ Como $|z|\to\infty.$

De iii) segue-se que $X$é limitado. De outra forma$X$ conteria uma sequência $z_n$ de tal modo que $|z_n|\to \infty,$ conseqüentemente $|p(z_n)|\to \infty,$ violando a definição de $X.$

Deixei $z\in \partial X.$ Então $z$ é o limite de uma sequência em $X.$ Isso implica $|p(z)|\le c.$ Poderia $|p(z)|<c$acontecer? Não porque então$z\in X$e não poderia ser um ponto de fronteira. Segue que$\partial X\subset \{|p|=c\}.$

Agora suponha $|p(z)|=c.$ Deixei $r>0.$ Então $p(D(z,r))$ é aberto pelo teorema de mapeamento aberto, portanto, contém pontos de módulo menores que $c$ e pontos de módulo maiores que $c.$ portanto $D(z,r)\cap X$ e $D(z,r)\cap X^c$não estão vazios. Desde a$r$ foi arbitrário, $z\in \partial X.$ Isso com o último parágrafo prova $\partial X = \{|p|=c\}.$

Lembre-se do teorema do módulo máximo: Suponha $U$é um conjunto conectado aberto limitado. Deixei$f$ ser contínuo em $\overline U$ e holomórfico em $U.$ Se o máximo de $|f|$ ocorre em $U,$ então $f$ é constante.

Então agora vamos $C$ ser um componente conectado de $X.$ Nós sabemos $\partial C \subset \partial X,$ que implica $|p|=c$ em $\partial C.$ E claro $|p|<c$ dentro $C.$

Presumir $C$ não contém um zero de $p.$ Então $p$ é diferente de zero em $\overline C,$um conjunto compacto. portanto$|p|$ atinge um mínimo positivo em alguns em $z_0 \in \overline C.$ Pelo MMT, $z_0\in C.$ Mas note $1/p$satisfaz as hipóteses do MMT. Assim, usando MMT novamente,

$$\frac{1}{|p(z_0)|} < \max_{\partial C}\frac{1}{|p|} =\frac{1}{c}.$$

Desde a $|p(z_0|<c,$ temos uma contradição e estamos prontos.