É $x$ um elemento algébrico sobre o campo das funções racionais $K(x)^p$?
Questão é $x \in K(x)$ um elemento algébrico sobre o campo $K(x)^p$?
Editar: Deixe $K$ seja um campo com char ($K)=p>0$ e deixar $K(x)$ ser o campo das funções racionais sobre $K$.
Minha tentativa: basicamente tentei responder a isso referindo-me a:
Campo $K (x)$ de funções racionais sobre $K$, o elemento $x$ não tem $p$a raiz.
Suponha o contrário que $x$ é algébrico $K(x)^p$, e entao $x$ é a raiz de alguns $p$-grau polinomial tal que; $(\frac{f(x)}{g(x)})^p -x = 0$
$f(x)^p=g(x)^p * x$
Aqui vemos a contradição desde os graus de $f(x)^p= deg(f(x)*p)$ e $g(x)^p*x = \deg(g(x)*p+1)$.
Estou totalmente perdido nisso, estou usando a 4ª edição de Abstract Algebra de Beachy e quase não há qualquer menção ao campo dos racionais. Quaisquer dicas e talvez sugestões sobre recursos onde eu possa encontrar mais informações sobre o campo dos racionais seriam muito apreciadas, obrigado!
Respostas
$x$ é de fato algébrico sobre $K(x)^p$ (observe os comentários à pergunta, só precisamos disso $x^p\in K(x)^p$. Acho que pode ser confuso para você em qual anel estamos tentando encontrar polinômios que têm$x$como uma raiz. Para contornar esse problema de notação, vamos chamar$F:=K(x)^p$.
Agora $x$ é algébrico $F$ se houver algum polinômio $g\in F[Y]$ st $g(x)=0$. Vejamos o polinômio$g=Y^p-x^p$. Nós sabemos isso$x^p\in F$, assim $g\in F[Y]$. Claramente também$g(x)=x^p-x^p=0$, assim $x$ é algébrico $F$.
Estou assumindo que você quer dizer $K$ ter característica $p>0$. Talvez você esteja surpreso com a possibilidade de$K$ não é perfeito, nesse caso $\bigl(K(x)\bigr)^p$ é diferente de $K(x^p)$. Mas não se preocupe: para nossos propósitos, isso não importa.
Vamos considerar seu campo de campo $\mathscr L=\bigl(K(x)\bigr)^p$, em que há um elemento $x^p$. Vou chamar este elemento$t$. Notamos que há um isomorfismo de campo$\varphi:K(x)\to\mathscr L$, de $\varphi(f)=f^p$. E a imagem do elemento$x$ do $K(x)$ é $t\in\mathscr L$; assim como$x$ não tem $p$-ésima raiz em $K(x)$, assim $t$ não tem $p$-ésima raiz em $\mathscr L$. Então, o$\mathscr L$-polinomial $X^p-t$ é irredutível ($\dagger$) Tem uma raiz em$K(x)$, porém, a saber $x$. E aí está você.
($\dagger$) Eu usei o fato de que em um campo $k$ de característica $p$, $X^p-b$ qualquer um tem uma raiz em $k$ ou é $k$-irredutível.