$\ell^1$ functor como adjunto à esquerda para unit ball functor
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Yemon Choi observa que "O $\ell^1$ functor é o functor de espaço de Banach livre, à esquerda adjacente ao functor de esfera da unidade esquecida ".
Essa afirmação é intrigante para mim, mas não tenho certeza de quais categorias e functores Yemon está falando aqui. Imagino que tenhamos a categoria de espaços de Banach (com quais mapas?) De um lado, mas e do outro? Se alguém puder preencher os detalhes aqui, ficaria muito satisfeito. Além disso, se alguém tiver referências a um texto de análise funcional que tenha essa perspectiva, também ficaria feliz com essa resposta.
Respostas
Você quer pegar a categoria $\text{Ban}_1$de espaços de Banach e mapas curtos (mapas lineares da norma do operador$\le 1$) O functor de esfera unitária$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ é representado por $\mathbb{C}$, e seu adjunto esquerdo envia um conjunto $S$ para o coproduto de $S$ cópias de $\mathbb{C}$, que acaba sendo $\ell^1(S)$. Isso diz que temos uma bijeção natural
$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$
que diz que um mapa de um conjunto $S$ para a bola unitária $U(B)$ de um espaço de Banach estende-se de forma única e livre para um pequeno mapa $\ell^1(S) \to B$, por "linearidade".
Falando intuitivamente, isso diz que $\ell^1(S)$ é obtido de $S$ exigindo que cada elemento de $S$ tem norma $1$ (para que esteja na bola unitária e possa mapear em breve para qualquer outro elemento de qualquer outra bola unitária) e, em seguida, pedindo que uma combinação linear $\sum c_s s$tem a maior norma possível compatível com isso (para que possa mapear em breve para qualquer outra combinação linear em qualquer outro espaço de Banach). Nós temos$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ pela desigualdade do triângulo e o $\ell^1$ norma é o caso de igualdade disso.
Esta construção se generaliza para a construção do coproduto em $\text{Ban}_1$, que se parece com isto: se $B_i$ é uma coleção de espaços de Banach, seu coproduto em $\text{Ban}_1$ é a conclusão da soma direta do espaço vetorial $\bigoplus_i B_i$ com respeito ao "$\ell^1$ norma" $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$.
Peço desculpas pela autopromoção, mas vou entrar em mais detalhes sobre as propriedades categóricas de $\text{Ban}_1$(por exemplo, está completo, co-preenchido e monoidal simétrico fechado) na postagem do meu blog, espaços de Banach (e medidas de Lawvere e categorias fechadas) . Em particular, tento motivar o uso de mapas curtos. Observe que se trabalharmos apenas com mapas lineares limitados, não podemos esperar recuperar um espaço de Banach até a isometria por meio de uma propriedade universal, enquanto os isomorfismos em$\text{Ban}_1$são isométricos. Por outro lado, a linguagem categórica ainda é capaz de falar sobre mapas limitados, por meio da estrutura fechada.
Seja Bang (Ban, geométrico) denotar a categoria cujos objetos são espaços de Banach e cujos morfismos são os mapas lineares que têm norma $\leq 1$. (Podemos trabalhar em escalares reais ou complexos.) Seja Set a categoria cujos objetos são conjuntos e cujos morfismos são funções.$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$
Existe um functor $\Ball$de Bang a Set, que atribui a cada espaço de Banach sua esfera unitária fechada; a condição nos morfismos de Bang garante que cada$f:X\to Y$ no Bang se restringe a uma função $\Ball(X) \to \Ball(Y)$.
O que seria um anexo esquerdo para $\Ball$parece? Podemos usar a descrição / caracterização em termos de objetos iniciais em categorias de vírgulas. Então, para cada conjunto$S$ nós queremos um espaço Banach $F(S)$ e uma função $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ com a seguinte propriedade universal: sempre que $E$ é um espaço de Banach e $h:S\to \Ball(E)$ é uma função, há um morfismo Bang único $T: F(S)\to \Ball(E)$ de tal modo que $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ como funções.
Desvendando as definições dos vários morfismos: o que exigimos é que para qualquer função $h$ a partir de $S$ para $E$ satisfatório $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ para todos $j\in S$, deve haver um mapa linear único $T: F(S) \to E$ de tal modo que $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ para todos $v\in F(S)$ e $T(\eta_S(j))=h(j)$ para todos $j\in S$.
Depois de tentar motivar as coisas, vamos fazer o Ansatz . Definir$F(S)$ ser o espaço de Banach $\ell_1(S)$ com sua norma usual $\Vert\quad\Vert_1$; deixar$(e_j)_{j\in S}$ denotam os setores de base canônica em $\ell_1(S)$. O único candidato possível para o mapa linear$T:\ell_1(S) \to E$ é: definir $T(e_j):= h(j)$ para cada $j$, e estender por linearidade e continuidade. Para ver se isso funciona, observe que para qualquer$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ temos
$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$
Resumindo: essencialmente o que o argumento acima diz é que um mapa linear limitado de $\ell_1(S)$ para um espaço de Banach $E$ define uma função limitada $S\to E$, e que, inversamente, todas as funções limitadas $S\to E$ tem uma extensão linear limitada única $\ell_1(S)\to E$. (Observe que este parágrafo, que é declarado na linguagem do analista em vez da linguagem categorista, é um pouco mais geral porque não estou exigindo que tudo tenha uma norma$\leq 1$; mas restringir-se a Bang parece essencial se alguém deseja obter uma bela declaração desse fato de análise na linguagem dos adjuntos.)
Na verdade, podemos ir mais longe e dizer que o isomorfismo de adjunção $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$, que a priori é apenas uma bijeção de conjuntos de comportamento natural, pode ser enriquecido para um isomorfismo em Bang: $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$.
Este é o Exercício 20 , na página 167 em Aulas e exercícios de análise funcional de Helemskii .
Uma discussão mais ampla é realizada por Jiří Rosický em Are Banach spaces monadic? , arXiv: 2011.07543 .