Encontrando a transformada inversa de Laplace de $\frac{s}{(s+1)^3}$ usando a fórmula de inversão
Eu preciso encontrar a transformada inversa de Laplace de $$F(s) = \frac{s}{(s+1)^3}$$usando Integral de Bromwich. O contorno de Bromwich será parecido com isso .
Na verdade, você pode ver esse problema no seguinte link: https://youtu.be/cXjbPsc-Z5w. Eu gostaria de saber, por que deveríamos mostrar a integral junto$L_u$, $C_R$, $L_D$ é $0$? Quer dizer, eu vi muitos exemplos em alguns livros (como Métodos Matemáticos para Físicos, 3ª ed.) É apenas necessário mostrar o resíduo em pólos simples para resolver a inversão da transformada de Laplace
Então, neste caso, deve ser:
$$\begin{align} \mathcal{L}\bigg\{\frac{s}{(s+1)^3}\bigg\} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{se^{st}}{(s+1)^3} \Bbb ds \\ &= \mathrm{Res}_{s=-1} \left(\frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right) \\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} \frac{\Bbb d^2}{\Bbb ds^2} \left[(s+1)^3 \frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right]\\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} te^{st}(2+st)\\ &= te^{-t} \left(1-\frac t2\right) \end{align}$$
Você pode explicar por que devemos mostrar a integral junto $L_u$, $C_R$, $L_D$ é $0$ (com base no link fornecido) se a teoria do resíduo é suficiente para avaliar a integral para encontrar a transformada de laplace inversa de $F(s)$?
Espero que você possa me explicar. Eu quero aprender mais sobre isso, mas ainda fico confuso quando se trata desta questão. Muito Obrigado!
Respostas
O Teorema do Resíduo é uma extensão do Teorema Integral de Cauchy . Ambos os teoremas começam com curvas fechadas retificáveis dentro de um domínio simples conectado em$\mathbb{C}$.
A transformada de Laplace inversa de $F(s)$, $f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F\}(t)$, é expresso por
$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s) e^{st}\,ds\tag1$$
Onde $c$ é um número real maior do que todas as singularidades de $F(s)$.
Para aplicar o Teorema do Resíduo, avaliamos a integral de $F(s)e^{st}$sobre uma curva fechada e retificável. Então, começamos nossa análise e escrevemos
$$\begin{align} \oint_C F(s)e^{st}\,ds&=\oint_{L_R+L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\\\\ &=\int_{L_R}F(s)e^{st\,ds}+\int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\tag2 \end{align}$$
Dada a questão específica do OP, assumimos aqui que as únicas singularidades de $F(s)$são singularidades polares. E se$F(s)$ tem singularidades de ponto de ramificação, então fecharíamos o caminho de Bromwich de forma que os pontos de ramificação e cortes de ramificação correspondentes sejam excluídos de dentro do contorno fechado.
Suponha que todos os $N$ número de pólos de $F(s)$ estão dentro do contorno fechado $C$ e denotam a localização do $n$'o poste por $s_n$, Onde $n=1,2\cdots N$. Então, temos do teorema do resíduo,
$$\oint_{C}F(s)e^{st}\,ds=2\pi i \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s)e^{st}, s=s_n\right)\tag3$$
Além disso, como $R\to \infty$, a primeira integral no lado direito de $(2)$ aproximações $2\pi i f(t)$ como expresso em $(1)$. Então, se a integral sobre$L_u+C_R+L_d$ desaparece como $R\to \infty$, então de igualar $(2)$ e $(3)$, nós achamos que
$$f(t) = \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s), s=s_n\right)\tag4$$
NOTA: A expressão em$(4)$ foi baseado no pressuposto de que
$$\lim_{R\to \infty} \int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st}\,ds=0\tag5$$
E se $(5)$ falha em segurar, então $(4)$ falha em segurar da mesma forma.