Encontrando coeficiente de correlação de $X$ e $XY$

Nov 27 2020

Deixei $X$ e $Y$ser variáveis ​​aleatórias independentes com variâncias diferentes de zero. Estou procurando encontrar o coeficiente de correlação$\rho$ do $Z=XY$ e $X$ em termos de meios e variações de $X$ e $Y$, ie $\mu_X, \mu_Y, \sigma^2_X, \sigma^2_Y$.

(Eu pesquisei diferentes métodos online, incluindo Correlação entre X e XY . No entanto, estou me perguntando se eu poderia usar uma abordagem de cálculo simples em vez de usar momentos também.)

O resultado que obtive, junto com as etapas que usei, é o seguinte:

$$ \begin{align} \rho & = \frac{\text{Cov}(Z,X)}{\sigma_Z\sigma_X}\\[1em] & = \frac{E\left[\left(Z-\mu_Z\right)\left(X-\mu_X\right)\right]}{\sigma_Z\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left[\left(XY-\mu_X\mu_Y\right)\left(X-\mu_X\right)\right]}{\sqrt{E\left[\left(XY\right)^2\right]-\left[E\left(XY\right)\right]^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left(X^2Y\right)-\mu_X^2\mu_Y}{\sqrt{E\left(X^2\right)E\left(Y^2\right)-\left[E\left(X\right)\right]^2\left[E\left(Y\right)\right]^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left(X^2\right)E\left(Y\right)-\mu_X^2\mu_Y}{\sqrt{\left(\sigma_X^2+\mu_X^2\right)\left(\sigma_Y^2+\mu_Y^2\right)-\mu^2_X\mu^2_Y}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\left[E\left(X^2\right)-\mu^2_X\right]}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\sigma_X^2}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\sigma_X}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}} \end{align} $$

que é aparentemente diferente do resultado da abordagem de momento usada na Correlação entre X e XY . Em qual etapa ocorreu um erro no meu cálculo (se houver), e como posso obter$\rho$ da abordagem que estou tentando usar?

Respostas

1 ThomasLumley Nov 27 2020 at 12:20

Uma abordagem útil para depurar uma string de igualdades é um ou dois exemplos, para que você possa verificar onde a igualdade pára.

O exemplo mais simples que posso pensar para isso é $Y$sendo uma constante que não é 0, 1 ou -1. Então deixe$Y=\mu_Y$ seja uma constante positiva que não seja 1, e $\sigma^2_Y=0$.

As três primeiras igualdades são apenas definições de expansão, então a quarta é a primeira vez que algo pode dar errado. E é verdade. O numerador na terceira linha simplifica para$\mu_Y\mathrm{var}[X]$. O numerador na quarta linha não. Ou não fiz quando escrevi isso; agora foi editado.

A versão editada passa nesta verificação. Também corresponde à terceira resposta da pergunta vinculada, que corresponde à primeira resposta, portanto, podemos provavelmente concluir que está certa.

1 Flowsnake Nov 27 2020 at 15:18

O que você escreveu é igual à expressão no link. No link, há um erro de digitação no denominador, como$\mu_2(Y)^2$ deveria estar $\mu_1(Y)^2$.

\ begin {eqnarray} \ text {Cor} (X, XY) & = & \ frac {\ mu_2 (X) \ mu_1 (Y) - \ mu_1 (X) ^ 2 \ mu_1 (Y)} {\ sqrt {( \ mu_2 (X) - \ mu_1 (X) ^ 2) (\ mu_2 (X) \ mu_2 (Y) - \ mu_1 (X) ^ 2 \ mu_1 (Y) ^ 2)}} \\ & = & \ frac {E [X ^ 2] \ mu_Y - \ mu_X ^ 2 \ mu_Y} {\ sqrt {\ sigma_X ^ 2 (E [X ^ 2] E [Y ^ 2] - \ mu_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2)}} \\ & = & \ frac {\ sigma_X \ mu_Y} {\ sqrt {(\ sigma_X ^ 2 + \ mu_X ^ 2) (\ sigma_Y ^ 2 + \ mu_Y ^ 2) - \ mu_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2}} \\ & = & \ frac {\ sigma_X \ mu_Y} {\ sqrt {\ sigma_X ^ 2 \ sigma_Y ^ 2 + \ sigma_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2 + \ mu_X ^ 2 \ sigma_Y ^ 2}} \\ \ end { eqnarray}