Encontrando o máximo de $x+y+z$ [Fechado]

Question

Se números positivos $x, y$ e $z$ satisfazer isso $xyz=1$, qual é o valor mínimo para $x+y+z$?

A partir de $xyz=1$, podemos pegar $$x = \frac{1}{yz};\space\space\space y = \frac{1}{xz};\space\space\space z = \frac{1}{xy}; $$

Substitua-os em $x+y+z=1$ e eu tenho$$\frac{xy+yz+xz}{xyz} = xy+yz+xz = 1$$

Uma vez que estamos encontrando o mínimo para $x+y+z$, Pensei em usar a fórmula $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$ devido ao fato de que temos o valor de $xy+yz+xz$.

Isso é tudo que tenho até agora. Como posso continuar?

Answer 1

Use a desigualdade AM-GM,

$$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt [3]{xyz}$$

$$x+y+z \ge 3$$

O mínimo é $3$ e não há máximo.

Answer 2

Por geometria:

A superfície da equação $xyz=1$(não sei seu nome) é uma cúbica com uma forma "semelhante a hiperbólica", pois qualquer seção transversal por um plano de uma coordenada constante é uma hipérbole. Tem uma simetria de ordem$3$ em torno do eixo $x=y=z$, e está aberto ao infinito.

As seções do avião $x+y+z=c$ são curvas fechadas, começando de $c=3$ e aumentando monotonamente e sem limites.

O mínimo é $c=3$ e não há máximo.