Encontrar todos os grupos finitos$G$st para qualquer$a,b\in G$qualquer$a$é um poder de$b$ou$b$é um poder de$a$

Question

Encontrar todos os grupos finitos$G$st para qualquer$a,b\in G$qualquer$a$é um poder de$b$ou$b$é um poder de$a$

Acho que mostrei que todos esses grupos são$Z_{p^n}$por$p$prima, está correto? Primeiro mostrei que o grupo deve ser cíclico considerando o elemento de maior ordem$\langle a\rangle$e alcançando a contradição se$\langle a\rangle\not= G$., e então se$Z_n$com$n$composto então ele não tem essa propriedade. pois existem dois subgrupos cíclicos disjuntos de ordens coprime.

Isso está correto? Todos os grupos são tais grupos$Z_{p^n}$?

Answer 1

Isto está certo. Bem, além da coisa de "subgrupos separados". Os subgrupos são "quase disjuntos", ou seja, sua intersecção se reduz ao elemento identidade, mas não podem ser literalmente disjuntos.

Answer 2

Sim, se você pegar$a$com ordem máxima e, por contradição, existe$b\notin\langle a\rangle$, então$a=b^n$para alguns$n>1$, assim$b$tem ordem maior do que$a$.

Portanto$G$é cíclico.

Agora podemos provar que a ordem de$G$deve ser um poder primário: você não pode excluir “composto” (um pequeno deslize, mas relevante).

Se$|G|$é divisível por dois primos distintos$p$e$q$, então$G$tem subgrupos de ordem$p$e$q$, mas eles têm interseção trivial, então o grupo não pode ter a propriedade declarada.

Um grupo cíclico de ordem$p^n$($p$um primo) tem a propriedade indicada.