Encontrar um ponto entre a intersecção de dois planos

Aug 16 2020

Ao fazer o exercício de encontrar uma linha entre duas interseções de planos, precisamos encontrar um ponto e vetor de direção da linha. O vetor de direção é fácil porque é perpendicular a ambos os normais, mas estou um pouco confuso sobre como pegar o ponto.

Suponha que recebamos a equação de dois planos,

$$P_1 : A_1 x + B_1 y +C_1 z+ D = 0$$

E,

$$ P_2 : A_2 x +B_2 y +C_2 z +D = 0$$

Para encontrar um ponto ao longo da linha de intersecção, muitas vezes é instruído a colocar uma das coordenadas como zero, digamos $x, y$ ou $z$e então resolva as coordenadas restantes. Mas, não sei por que fazemos isso, como em, como sabemos que a linha entre a interseção de duas linhas sempre precisaria ter$x$ , $y$ e $z$ intercepta?

Eu vi esta postagem, mas não achei que respondesse à minha dúvida e nem foi abordada nesta

Respostas

1 H.H.Rugh Aug 16 2020 at 18:30

Suponha que $\left|\begin{matrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{matrix}\right| = A_1B_2-B_1A_2\neq 0$. Então você pode reformular o problema da seguinte maneira:

$$\begin{pmatrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C_1 z + D_1 \\ C_2 z+D_2\end{pmatrix} $$ e resolver para $x$ e $y$: $$ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C'_1 z + D'_1 \\ C'_2 z+D'_2\end{pmatrix} $$ Isso mostra que para qualquer $z=t\in{\Bbb R}$ você obtém uma solução única para $x$ e $y$. O que acontece aqui é que a intersecção dos dois planos$P_1,P_2$ com o avião $z-t=0$ fornece duas linhas não paralelas (por causa do determinante AB diferente de zero) no $x-y$avião. Essas duas linhas, portanto, têm um ponto de intersecção único.

Agora, quando seu determinante AB acima é zero (então suas duas linhas no $x-y$ planos são paralelos), então você pode procurar um diferente de zero $B-C$ matriz (e resolver para $y,z$) ou um diferente de zero $C-A$ matriz (e resolver para $z,x$) Se todos esses determinantes forem zero, então seus dois planos originais são de fato paralelos, então ou a interseção está vazia ou é um plano.

Observe que os três determinantes que você calcula são, na verdade, o componente do produto cruzado dos vetores normais para os planos, portanto, o produto cruzado, sendo não-desaparecimento, é de fato uma condição para a interseção ser uma linha.

1 AnindyaPrithvi Aug 16 2020 at 17:45

Pode-se resolver essas questões assumindo qualquer um dos $(x,y,z)$ser zero, ou mantendo um como constante. A intuição por trás de manter um deles zero é que, na maioria das vezes, as linhas que obtemos não são paralelas a um plano, portanto, devem definitivamente se cruzar.

Quando não é esse o caso, manter a variável zero resultaria em pares inconsistentes de equações lineares.