Encontre um certo grupo $G$ com $H,K\unlhd G$, $H\cong K$ e $(G/H)\ncong(G/K)$ [duplicado]

Question

Estou tentando resolver um problema do meu livro de texto de teoria de grupo. Diz:

Encontre um certo grupo $G$ com $H,K\unlhd G$, que verifica $H\cong K$ mas $(G/H)\ncong(G/K)$.

Não sei que grupo considerar. No começo eu pensei sobre o quaternion$Q_8$, mas não encontrei uma solução (no meu livro, este tipo de exercícios costumava usar o $Q_8$) Então eu considerei os grupos dieric$D_n$ e o simétrico $Sn$mas também não obteve nada. Qual é a solução possível para este problema? Qualquer ajuda será apreciada, obrigado antecipadamente.

Answer 1

Então você pode apenas considerar $G = \mathbb Z, H= 2 \mathbb Z, K = 3 \mathbb Z$. Então$H \cong K$ mas $\lvert G / H \rvert = 2$ e $\lvert G / K \rvert = 3$, conseqüentemente $G / H \not\cong G / K$.