Encontre uma fórmula para uma transformação linear [fechada]
Encontre um exemplo de uma fórmula de transformação linear$\varphi$de modo a:
$$\ker\varphi = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\},$$ $$\operatorname{im}\varphi = \operatorname{span}((2,3,1))$$
Como abordar tal problema? A maneira mais padrão é apreciada.
Respostas
$\varphi$é uma transformação linear$\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$, então a matriz$A$representando$\varphi$(em relação à base padrão) é$3$por$4$. Agora se$$\ker\varphi=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-y+6z+2t=0\}$$então tudo no kernel de$A$é ortogonal a$(1,-1,6,2)$, então vamos definir$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ ?&?&?&?\\?&?&?&?\end{bmatrix}.$$Ainda não terminamos, porque não especificamos as entradas restantes. Mas isso não é difícil, porque sabemos$$\text{im}\varphi=\text{span}((2,3,1))$$o que implica que todos os vetores coluna são múltiplos escalares de$(2,3,1)$. Por exemplo, a primeira coluna é apenas$1/2$vezes$(2,3,1)$, que dá$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&?&?&?\\1/2&?&?&?\end{bmatrix}.$$Seguindo esta lógica, podemos preencher as últimas três colunas de forma semelhante, dando-nos$$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&-3/2&9&3\\1/2&-1/2&3&1\end{bmatrix}.$$Agora terminamos.
Observe aquilo$\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\}$é o conjunto de todos os vetores da forma$$(y-6z-2t,y,z,t) = y(1,1,0,0) + z(-6,0,1,0) + t(-2,0,0,1)$$Onde$y,z$e$t$percorre todos os números reais. Então, escolha um mapa linear$\varphi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$de tal modo que$$\varphi(1,1,0,0) = \varphi(-6,0,1,0) = \varphi(-2,0,0,1) = 0$$e$\varphi(v) = (2,3,1)$para alguns$v \in \mathbb R^4$que não está no intervalo de$$\{(1,1,0,0),(-6,0,1,0),(-2,0,0,1)\}.$$
A seguinte matriz descreve tal:$\begin{pmatrix} 2&-2&12&4\\3&-3&18&6\\1&-1&6&2\end{pmatrix}$.