Ergodicidade sob transformação

Question

Suponha $\Omega := [0,1]^{\mathbb Z}$ está equipado com a topologia do produto e dotado do Borel $\sigma$-álgebra $\mathcal B(\Omega)$ e há uma medida de probabilidade $\mathbb P$ em $(\Omega,\mathcal B(\Omega))$ de modo que a mudança $T:\Omega \to \Omega$, $$T(\omega)(k) := \omega(k+1),\quad \omega\in\Omega,k\in \mathbb Z$$ é a preservação da medida, ou seja, $\mathbb P = \mathbb P \circ T^{-1}$ em $\mathcal B(\Omega)$, e ergódico, ou seja $A=T^{-1}(A)$ implica $\mathbb P (A)\in\{0,1\}$ para qualquer $A\in\mathcal B(\Omega)$. Agora deixe$f:[0,1]^3\to[0,1]$ uma função mensurável e $U:\Omega \to \Omega$ a transformação definida por $$ U(\omega)(k) := f(\omega(2k-1),\omega(2k),\omega(2k+1)),\quad \omega\in\Omega,k\in\mathbb Z.$$ Nós consideramos a medida de probabilidade $\widetilde {\mathbb P}:= \mathbb P\circ U^{-1}$ Onde $U^{-1}$ denota a pré-imagem.

Então, por $T\circ U= U\circ T^2$, sustenta que $(\Omega,\mathcal B(\Omega), \widetilde {\mathbb P},T)$ainda é um sistema dinâmico que preserva medidas. Também é ergódico?

Edit: Quais são os exemplos de medidas de probabilidade$\mathbb P$ em $\mathcal B(\Omega)$ e conjuntos $A\in\mathcal B(\Omega)$ de tal modo que $T^{-2}(A)=A$ mas $\mathbb P(A)\notin \{0,1\}$ (e, portanto, necessariamente $T^{-1}(A)\neq A$)?

Answer 1

A resposta é negativa: vamos \begin{align*} \mathbb P &:= \frac 1 2 \left(\delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} + \delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z+1}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} \right), \\ A &:= \left\lbrace (1)_{k\in\mathbb Z} \right\rbrace ,\\ f(x,y,z) &:= y. \end{align*}

A probabilidade $\mathbb P$ corresponde à cadeia de Markov irredutível no espaço de estado $\{0,1\}$ com matriz de transição $P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$ que tem distribuição estacionária única $(\frac 1 2 \,\,\, \frac 1 2)$. À luz da resposta a esta questão matemática. SE, o sistema dinâmico$(\Omega,\mathcal B(\Omega),\mathbb P, T)$preserva a medida e é ergódico (mas não mistura). Agora,$T^{-1}(A)=A$ mas $$U^{-1}(A) = \prod_{k\in \mathbb Z} \begin{cases} \{1\},&\quad k\in 2 \mathbb Z \\ [0,1],&\quad k\in 2\mathbb Z+1\end{cases}, $$ donde $\widetilde{\mathbb P}(A) = \frac 1 2 $.