Esta variedade descreve monoides esquerdos?

Dec 21 2020

Em esta pergunta eu ter definido o seguinte variedade.

Deixar $(S, \cdot, e)$ ser tal que $(S, \cdot)$ é um semigrupo, $e$ é uma operação binária, e deixe as identidades $e(x, y)x \approx x$, $e(x, y)\approx e(y, x)$aguarde. Vamos chamar uma estrutura que os satisfaça de monóide duplo esquerdo, ou dlm.

Pode-se ver isso se $(S, \cdot)$ é um monóide esquerdo com identidade esquerda $f$, então definindo $e(x, y)\equiv f$ temos um dlm.

Se $(S, \cdot, e)$, como um semigrupo, não é um monóide esquerdo, então não pode ser um monóide direito. Claramente, se$f$ eram a identidade certa, então $e(x, f)f = f = e(x, f)$ para todos $x$, e entao $fx = x$ para todos $x$, então seria um monóide.

Qualquer dlm é necessariamente um monóide esquerdo após a transformação $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$ que esquece a operação $e$?

Respostas

1 J.-E.Pin Dec 22 2020 at 19:02

A resposta é não, como mostra o semigrupo $(\Bbb{Z}, \min)$ com $e(x,y) = \max(x,y)$.