Eu preciso analisar a sequência dada por $ x_{1+n} = \frac{1}{2 + x_{n}}$ sem uma equação com $0$?
Tenho um problema com exercícios com sequências dadas por recursão quando preciso "provar a convergência e encontrar o limite, se ela existir" e recebo uma recursão desse tipo:
$$ x_{1+n} = \frac{1}{2 + x_{n}}, x_1 \in (0 ; \infty)$$
É bastante fácil encontrar o limite - presumo que o limite existe em $ \mathbb{R}$ e então usar as propriedades aritméticas dos limites: $$\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} x_{n}$$ $$\lim_{n \to \infty} x_{n} = l, l \in \mathbb{R}>0$$
Pegando minha recursão: $$l = \frac{1}{2 + l}$$ $$l^2 +2l - 1 = 0$$ $$l_1 = \sqrt{2} - 1 \in D$$ $$l_2 = -1 - \sqrt{2} \notin D$$
Então, meu único limite possível em $ \mathbb{R}$ é $l = \sqrt{2} - 1$. Isso se eu puder realmente provar que o limite existe - isto é: a sequência é monótona e limitada. E aqui está o meu problema - é simplesmente impossível analisar sem computador a diferença de:
$$x_{1+n} - x_{n} = \frac{1}{2 + x_{n}} - x_{n}$$
Em busca de limites, eu apenas multiplico os dois lados da equação por $ \lim_{n \to \infty} x_{n} = l$ e é impossível fazer isso aqui, então eu obtenho: $$x_{1+n} - x_{n} = \frac{-x_{n}^2-2x_n+1}{2 + x_{n}}$$
Então eu não posso dizer quando é maior do que $0$ para analisar a monotonicidade e não consigo ver por quais valores o $n$ quais valores de $n+1$ eu consigo (para obter o limite) porque o valor mínimo fica louco.
Então, eu só queria perguntar - estou faltando alguma coisa? É possível fazer aqui$x_{1+n} - x_{n} = \frac{-x_{n}^2-2x_n+1}{2 + x_{n}}$ uma igualdade com $0$ e analisar uma função mais simples (vermelha na imagem)?
Respostas
Esta é uma transformação Möbius . Depois de obter as raízes$l_1, l_2$ da função característica $l^2+2l-1=0$, segue que $1-2l_1=l_1^2$ e $1-2l_2=l_2^2$. Então
$$ x_{n+1}-l_1 = \frac{1}{2+x_n}-l_1 = \frac{1-2l_1-l_1 x_n}{2+x_n} = \frac{l_1^2-l_1 x_n}{2+x_n} = -l_1 \frac{x_n-l_1}{2+x_n} \tag 1 $$
similarmente $$ x_{n+1}-l_2 = -l_2 \frac{x_n-l_2}{2+x_n} \tag 2 $$
$(1) \div (2)$ (você pode fazer isso porque $x_n>0>l_2$), $$ \frac{x_{n+1}-l_1}{x_{n+1}-l_2} = \frac{l_1}{l_2}\cdot \frac{x_n-l_1}{x_n-l_2} $$
Portanto $\frac{x_n-l_1}{x_n-l_2}$ é uma sequência geométrica,
$$ \frac{x_n-l_1}{x_n-l_2} = \left(\frac{l_1}{l_2} \right)^{n-1} \cdot \frac{x_1-l_1}{x_1-l_2} \tag3 $$
Então $$x_n=\frac{l_1-\frac{x_1-l_1}{x_1-l_2}\left( \frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1} \cdot l_2}{1- \frac{x_1-l_1}{x_1-l_2}\left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1}}$$
Como $n\to \infty, \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^{n-1} \to 0, x_n \to l_1 = \sqrt 2 - 1$.
Para resolver usando matrizes, veja aqui um exemplo.
$$X_{n+1}=\frac{1}{2+X_n} \implies 2 X_{n+1}+X_{n+1}X_n=1$$ Deixei $X_n=\frac{Y_{n-1}}{Y_n}$, então $$2 \frac{Y_{n}}{Y_{n+1}}+\frac{Y_n}{Y_{n+1}}\frac{Y_{n-1}}{Y_n}=1 \implies 2Y_n+Y_{n-1}=Y_{n+1}.$$ Deixei $Y_n=t \implies t^2-2t-1=0 \implies t=1\pm \sqrt{2}.$ então $$Y_n=p(1+\sqrt{2})^n+q (1-\sqrt{2})^{n} $$ $$\implies X_n=\frac{(1+\sqrt{2})^{n-1}+r(1-\sqrt{2})^{n-1}}{(1+\sqrt{2})^{n}+r(1-\sqrt{2})^{n}}, r=q/p.$$ $$\lim_{n \to \infty}X_{\infty}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$$
Apesar $x_1$ pode ser qualquer número positivo, todos os termos começando com $x_2$ são menos que $\frac 12$, portanto, não pode estar longe de seu limite. Uma abordagem que pode ser útil é escrever um termo como o limite mais um termo de erro, então vamos$x_i=\sqrt 2-1+\epsilon$ Então $$x_{i+1}=\frac 1{2+x_i}=\frac 1{1+\sqrt 2 + \epsilon}\\ x_{i+1}=\frac{\sqrt 2-1}{1+(\sqrt 2-1)\epsilon}\\ x_{i+1}\approx (\sqrt 2-1)-(\sqrt 2-1)^2\epsilon$$ onde usei a aproximação de primeira ordem para $\frac 1{1+\epsilon}$. Vemos a partir disso que o erro é diminuído por um fator sobre$6$cada etapa, então a sequência convergirá. Para ser mais formal, você pode limitar o erro acima usando o fato de que$x_i \in (0,\frac 12)$. Você não obterá essa redução rápida, mas qualquer fator menor que$1$ é bom o suficiente.