Exemplo de isomorfismos de álgebras de Lie

Jan 05 2021

Estou procurando um exemplo de uma Álgebra de Lie isomorph. 2 álgebras são isomorfas, se houver uma função linear bijetiva$g_1 \rightarrow g_2$ que mapeia tudo $X,Y \in g_1$ gostar $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$.

Então, 2 álgebras de Lie que eu poderia pensar seriam o produto vetorial em ${\rm I\!R}^3$ e a álgebra do comutador de um Vectorfield invariante à esquerda, mas não consigo pensar em uma função que os mapeie como afirmei antes.

Respostas

4 TorstenSchoeneberg Jan 05 2021 at 14:11

Exemplos, aproximadamente ordenados de fácil a difícil:

  1. Deixei $\mathfrak g$ser qualquer álgebra de Lie. O mapa de identidade$x \mapsto x$ é um isomorfismo de $\mathfrak g$ para si mesmo.

  2. Deixei $V$, $W$ ser espaços vetoriais sobre um campo $k$, e definir colchetes Lie neles como $[v_1, v_2] = 0$ e $[w_1,w_2]=0$ para todos $v_1,v_2 \in V$, $w_1,w_2 \in W$. Mostre que as álgebras de Lie$V$ e $W$ (com esses colchetes) são isomórficos se e somente se $V$ e $W$têm a mesma dimensão. (Isso deve ser apenas uma verificação de que você entende os isomorfismos dos espaços vetoriais, a base absoluta da álgebra linear.)

  3. Deixei $k$ ser qualquer campo e $\mathfrak{gl}_n(k)$ a álgebra de Lie dada por todos $n \times n$-matrizes acabadas $k$, com o suporte de Lie dado pelo comutador de matriz $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ (Onde $\cdot$é a multiplicação de matriz usual). Deixei$g$ser qualquer invertível $n\times n$-matrix over $k$, ou seja, um elemento de $\mathrm{GL}_n(k)$. Mostre que o mapa$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ é um isomorfismo de $\mathfrak{gl}_n(k)$para si mesmo, ou seja, um auto morfismo de$\mathfrak{gl}_n(k)$.

  4. Deixei $\mathfrak{gl}_n(k)$seja como no exemplo anterior. O mapa que envia cada matriz para sua transposta negativa,$$ A \mapsto -A^T$$ é um isomorfismo de $\mathfrak{gl}_n(k)$para si mesmo, ou seja, um auto morfismo de$\mathfrak{gl}_n(k)$.

  5. Deixei $k$ seja qualquer campo, $c \in k^\times$, $\mathfrak g_1$ um bidimensional $k$- espaço vetorial com base $v_1, v_2$ e suporte de Lie $[v_1, v_2] = v_2$. Deixei$\mathfrak g_2$ seja outro bidimensional $k$- espaço vetorial com base $w_1,w_2$ e $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$. Encontre um isomorfismo das álgebras de Lie$\mathfrak g_1$ e $\mathfrak g_2$.

  6. Deixei $\mathfrak g_1$ e $\mathfrak g_2$ ser como no exemplo anterior, exceto que agora o colchete Lie em $\mathfrak g_2$ É dado por $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ Onde $c \in k^\times$ e $a \in k$. Novamente encontre um isomorfismo$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$. (Para este e o exemplo anterior, cf. Classsifying 1 e 2-dimensional Algebras, up to Isomorfismo , Como obter um isomorfismo explícito (explicitamente definido) entre quaisquer duas álgebras de Lie não-fabianas de dimensão$2$, Two Dimensional Lie Álgebra , bidimensional Lie Algebra - o que sabemos, sem saber o suporte? )

  7. Deixei $k$ ser qualquer campo de característica $\neq 2$, $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ a álgebra de Lie sem rastros $2 \times 2$-matrizes (com colchete de Lie fornecido como no exemplo 3). Deixei$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ (a "forma dividida de $\mathfrak{so}_3$") também com o suporte de Lie dado pelo comutador de matriz. Encontre um isomorfismo entre essas duas álgebras de Lie. (Compare as álgebras de Lie$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ e $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, Prova direta de que$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, Um isomorfismo explícito entre a álgebra de mentira ortogonal tridimensional e a álgebra de mentira linear especial de dimensão$3$ e links nele.)

  8. Deixei $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ (um subespaço real tridimensional do $2 \times 2$matrizes complexas); convença-se de que, novamente, com o colchete de Lie dado pelo comutador de matriz (como no exemplo 3), esta é uma álgebra de Lie. Mostre que é isomórfico a$\mathbb R^3, \times$isto é, a álgebra de Lie tridimensional real com colchete de Lie dado pelo produto vetorial. (Compare porque há um fator de$2$ no isomorfismo $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$? . Parece ser a isso que você alude na pergunta.)

  9. Encontre um isomorfismo entre $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ e a inclinação simétrica $4\times 4$ matrizes acabadas $\mathbb C$. (Cf. Isomorfismo explícito entre a álgebra de Lie ortogonal de quatro dimensões e a soma direta das álgebras de Lie lineares especiais de dimensão 3. )

  10. Encontre um isomorfismo entre a soma direta de skew-symmetric $3 \times 3$ matrizes reais consigo mesmo, e o$4 \times 4$matrizes com simetria de inclinação real. (Cf. Isomorfismo entre$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ e $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $)

  11. Para $\mathfrak g$uma álgebra de Lie real, a extensão / complexificação escalar $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ é uma álgebra de Lie complexa com colchete de Lie dado por extensão bilinear de $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$. Fácil: Mostre que a complexificação de$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ é isomórfico a $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Mais difícil: Para$\mathfrak{su}_2$ conforme definido no exemplo 8, mostra que a complexificação $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ também é isomórfico a $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Bônus: Mostre que, apesar disso, as verdadeiras álgebras de Lie$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ e $\mathfrak{su}_2$não são isomórficos entre si. (Compare a conexão precisa entre complexificação de$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ e $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$, São complexificações de álgebra de Lie$\mathfrak g_{\mathbb C}$ equivalente a estruturas de álgebra de Lie em $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$? e provavelmente muitos mais.)

Além disso, tente encontrar isomorfismos da álgebra de Lie .