Exercício de Herstein: um subgrupo de um grupo finito G tal que $|G| \nmid i_G(H)!$ deve conter um subgrupo normal não trivial.

Question

Este é um problema 'Harder' 40 de Abstract Algebra (1996) por Herstein. Só não consigo descobrir como fazer isso. embora eu tenha encontrado uma postagem muito semelhante . A seguir está uma declaração literal da questão.

E se $G$ é um grupo finito, $H$ um subgrupo de $G$ de tal modo que $n \nmid i_G(H)!$, Onde $n=|G|$, provar que existe um subgrupo normal $N \neq (e)$ do $G$ contido em $H$.

PS Eu estou preso nisso por cerca de uma semana e agora estou jogando a toalha, então eu realmente aprecio uma solução, mas eu humildemente imploro que você me dê dicas para que eu possa resolver este problema ( mais ou menos) por conta própria, embora, francamente, eu tenha perdido as esperanças.

Answer 1

Suponha que $H$ tem índice $n$ dentro $G$. A ação nos cosets (à direita, digamos) de$H$ induz um homomorfismo $\phi:G\to S_n$, e o núcleo deste mapa, o núcleo de$H$ dentro $G$, é o maior subgrupo normal de $G$ contido em $H$. Assim, o núcleo não é trivial se e somente se o subgrupo$N$ você precisa existe, então deixe $N$denotam este núcleo. Desde a$G/N$ é isomórfico a um subgrupo de $S_n$, $|G/N|\mid n!$. Mas$|G|\nmid n!$, e portanto $|N|>1$.