Existe um banco de dados sobre os valores particulares de $j$-invariante?
Existe um banco de dados que tem todos os valores particulares conhecidos do $j$-invariante?
Respostas
O que você quer dizer com "conhecido"? Para qualquer$\tau\in\mathbb C$ com $\text{Im}(\tau)>0$, pode-se computar $j(\tau)$com a precisão que o computador permite, mas presumivelmente não é o que você quer dizer. Em geral, se$\tau$ é algébrico e $[\mathbb Q(\tau):\mathbb Q]\ge3$, então $j(\tau)$ é transcendental sobre $\mathbb Q$, então você precisa explicar o que constituiria "conhecer" o valor. Quando$\tau$ é quadrático $\mathbb Q$, a curva elíptica associada tem CM, e $j(\tau)$ gera o campo de classe Hilbert de $\mathbb Q(\tau)$. Nesse caso, pode-se, em princípio, determinar o campo e, em seguida, escrever$j(\tau)$em termos de uma base para esse campo. É isso que você quer dizer? Nesse caso, tenho certeza de que muitos exemplos foram elaborados ao longo dos anos, mas não estou ciente de um lugar onde foram compilados. Embora presumivelmente eles tenham sido feitos para todos os campos quadráticos imaginários de pequeno número de classe. Há um cálculo de amostra para$\tau=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$em meu livro Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves (Exemplo II.6.2.2), onde é mostrado que$$ j\left(\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right) = -52515-85995\frac{1+\sqrt{5}}{2}. $$ (O campo $\mathbb Q(\sqrt{-15})$ tem a classe número 2, e seu campo de classe Hilbert é $\mathbb Q(\sqrt{-15},\sqrt5)$.)
Qualquer banco de dados (finito) contendo expressões explícitas para j-invariantes de curvas elípticas com CM pode ser estendido adicionando j-invariantes de curvas elípticas isógenas. Dada uma curva elíptica$E$ em sua forma Weierstrass e um subgrupo finito $F$disso, um artigo clássico de Velu fornece equações explícitas para$E':=E/F$ e a isogenia $E\rightarrow E'$. Agora, suponha que estamos trabalhando$\Bbb{C}$ e nós sabemos disso $E$ é isomórfico a $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$, daí o conhecimento do valor especial $j(\tau)$. O$j$-invariante de $E'$, que pode ser calculado explicitamente usando sua equação, então produz outro valor especial $j(\tau')$ do modular $j$-função onde $\tau'$ é um período de $E'$. Alternativamente, pode-se começar a partir da curva alvo e subir para obter o$j$-invariante de uma curva elíptica acima dela. Para fazer isso, suponha que uma forma de Legendre$y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ para uma curva elíptica CM $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$ é fornecido ($\lambda$é um número algébrico). Em outras palavras, suponha que temos$j(\tau)=256\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{(\lambda^2-\lambda)^2}$em nosso banco de dados. Considere a isogenia$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}\rightarrow\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$. Ao analisar possíveis formas de Legendre para$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}$, pode-se mostrar seu $j$-invariante $j(2\tau)$ pertence a $$\left\{16\frac{(u+\frac{1}{u}+14)^3}{(u+\frac{1}{u}-2)^2}\,\Big|\,u\in\left\{\lambda,1-\lambda,1-\frac{1}{\lambda}\right\}\right\}.$$ Portanto, existem três candidatos para $j(2\tau)$, cada um na forma de um número algébrico explícito. Aproximando$j(2\tau)$ numericamente por meio do $q$-expansão, pode-se escolher a expressão correta para $j(2\tau)$entre eles e adicioná-lo ao banco de dados. Os detalhes desta abordagem para computação$j(2\tau)$ em termos de $j(\tau)$pode ser encontrada neste artigo . Existe um método análogo para$j(3\tau)$. Então, começando com, por exemplo$j(i)=1728$, para quaisquer dois inteiros positivos $m$ e $n$, uma expressão exata para $j\left(2^m3^ni\right)$pode ser obtido. Por exemplo$j(2i)=66^3$ e $j(3i)= 64(387+224\sqrt{3})^3(97−56\sqrt{3})$.