Existe uma boa maneira de escrever matematicamente uma operação CNOT sobre qubits não vizinhos em um circuito? [duplicado]
Eu queria saber se há alguma maneira de apresentar a matriz CNOT, pois geralmente apresentamos operações de qubit único
$$... 1 \otimes NOT \otimes 1 ...$$
Eu sei que para qubits adjacentes em um circuito, podemos apresentá-lo de forma idêntica
$$... 1 \otimes CNOT \otimes 1 ...$$
Mas existe uma maneira de apresentar a operação matematicamente se houver vários CNOTs agindo em fios não vizinhos?
Respostas
Se você está se referindo apenas à representação abstrata do circuito, então você pode simplesmente reordenar sua base de forma que todos os qubits que participam de CNOTs sejam feitos "adjacentes" de acordo com sua rotulagem. Por exemplo, se a base for ordenada como$1,2,3$, e você deseja realizar um CNOT entre os qubits 1 e 3, então basta escrever algo como
$$ CNOT_{1,3} \otimes I_2 $$
onde a base agora está ordenada $1,3,2$. Mas se você não quiser reordenar a base, também há outra maneira de escrever o CNOT:
$$ |0\rangle\langle0|\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes X $$
que poderia incluir uma identidade no estado do segundo qubit como
$$ (|0\rangle\langle0|)_1 \otimes I_2 \otimes I_3 + (|1\rangle\langle1|)_1 \otimes I_2 \otimes X_3 $$
Já não se trata apenas de um produto de unitários, o que se espera uma vez que a ação do CNOT não deve se fatorar em produto de operações.
Pessoalmente, apenas me defino alguma notação. Por exemplo, em vez do NÃO que você escreveu, eu defino$X_n$ ser estar $$ X_n=1^{\otimes(n-1)}\otimes X\otimes 1^{\otimes(N-n)}. $$ Da mesma forma, posso então definir $CNOT^i_j$ para ser um controle não controlado $i$ e segmentação $j$. Se eu tivesse que escrever como produtos tensores, provavelmente faria algo como$$ 1^{\otimes N}+1^{\otimes (i-1)}\otimes |1\rangle\langle 1|\otimes 1^{\otimes(j-i-1)}\otimes(X-1)\otimes 1^{\otimes(N-j)} $$ assumindo $j>i$.