Existe uma função não constante $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$de tal modo que $f(x) = f(x + 1/x)$?

Question

Estou procurando uma função não constante$f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$de tal modo que$f(x) = f(x + 1/x)$, ou uma prova de que tal função não existe.

Substituindo$x$de$1/x$mostra que devemos ter$f(x) = f(1/x)$.

Estou mais interessado na (não) existência de suaves não constantes$f$.

Answer 1

Deve haver infinitas soluções contínuas, uma para cada função contínua$g:[1,2]\to \mathbb{R}$com$g(1)=g(2)$. Depois de impor condições de fronteira e diferenciabilidade apropriadas em$g$, podemos tornar a função suave.

Deixar$x_1=1$e$x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Então$1\le x_n\le n$e pela divergência da série harmônica,$x_n\to\infty$Como$n\to \infty$. Desde$h:t\mapsto t+\frac{1}{t}$é estritamente crescente em$[1,\infty)$, cada$x\in[1,\infty)$pertence a exatamente um$[x_{n+1},x_{n+2})$e$x=h^n(y)$para exatamente um$y\in[1,2)$. Então definimos$f(x)=g(y)$. Usando a relação$f(x)=f(1/x)$, isso se estende a$(0,\infty)$. É contínua, pois é contínua em cada$[x_n,x_{n+1}]$e concorda nos pontos finais.