Faz a sequência $\{f_n\}$ convergir em $L^1$?

Question

Considere a sequência de funções $f_n\in L^1(\Bbb R)$ definido por $f_n(x)=n\chi_{(0,1/n)}(x)$ para $x\in\Bbb R$. Faz a sequência$\{f_n\}$ convergir em $L^1$?

Tentativa. Eu acho que não. Suponha que exista uma função$g\in L^1(\Bbb R)$ de tal modo que $f_n\to g$ dentro $L^1$. Então, pela desigualdade de Minkowski, temos$$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1\geq \lim_{n\to\infty}|\|f_n\|_1-\|g\|_1|=\lim_{n\to\infty}|1-\|g\|_1|=1-\|g\|_1$$ implica que $\|g\|_1\geq 1.$ Por outro lado, $$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1=\lim_{n\to\infty}\int_{\Bbb R}|f_n(x)-g(x)|dx.$$Aqui, não tenho certeza se somos capazes de usar o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue. Se sim, nós temos$\|g\|_1=0$, contradição. Além disso, é fácil ver que$f_n$converge para a função zero pontualmente. Obrigado!

Answer 1

Resposta simples: se converge, só pode convergir para a função zero. Isso ocorre porque a convergência em$L^{1}$ implica convergência ae para uma subsequência e o limite ponto-a-ponto é $0$. Agora$\int |f_n-0|=1$ então $(f_n)$ não converge em $L^{1}$.