Fitas embutidas e isotopia regular

Aug 18 2020

Estou lendo o artigo de Kauffman de 1990 "An Invariant of Regular Isotopy" sobre nós que são isotópicos apenas por movimentos de Reidemeister Tipo II e III, que é conhecido como isotopia regular. Seu artigo afirma que há uma relação entre a isotopia regular e as bandas incorporadas ($S^1 \times [0,1]$) dentro $S^3$. Ele se refere ao livro de Burde's Knots, mas não consigo encontrar nenhuma menção à isotopia regular, porque parece que Kauffman cunhou essa frase no jornal, depois que o texto de Burde foi escrito.

Acho que uma isotopia regular de nós corresponde a uma banda embutida. No entanto, estou preocupado que possa haver uma patologia que estou esquecendo. Alguém tem uma descrição precisa do relacionamento?

Respostas

2 CalvinMcPhail-Snyder Aug 19 2020 at 19:51

A partir de qualquer diagrama de nó, pode-se obter um nó emoldurado usando a "moldura do quadro-negro". O ponto de isotopia regular dos diagramas de nós é que ele preserva esse enquadramento do quadro-negro. Visto que os nós emoldurados e as bandas embutidas são a mesma coisa, a isotopia regular também preservará a banda embutida correspondente ao quadro do quadro-negro do diagrama de nós.

Presumo que isso seja discutido com mais detalhes em Burde, talvez em termos de nós emoldurados. Também é possível que Burde não discuta os nós emoldurados, pois acho que as pessoas ficaram muito mais interessadas neles após a descoberta do polinômio de Jones / o TQFT de Chern-Simons. E eu concordo: acho que Kauffman cunhou o termo "isotopia regular", então provavelmente não é usado em Burde.

5 AndyPutman Aug 20 2020 at 00:36

Isso é mais um comentário do que uma resposta, mas espero que seja útil. Existe uma noção muito mais antiga e mais bem estudada de homotopia regular . Deixei$X$ e $Y$ sejam variedades suaves e deixe $f,g\colon X \rightarrow Y$ser imersões. Então$f$ e $g$ são regularmente homotópicos se forem homotópicos por imersões.

Vamos nos concentrar em classes regulares de homotopia de imersões $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Essa imersão é o que você obtém de um diagrama de nós, esquecendo os cruzamentos acima / abaixo. Não é difícil ver que se$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ são imersões regularmente homotópicas com autointerseções transversais, então $f$ pode ser transformado em $g$por uma sequência dos análogos óbvios dos movimentos de Reidemeister II / III. No entanto, você não pode executar um análogo de um Reidemeister I move, pois no momento em que você puxa seu loop, a derivada tem que desaparecer, então não é uma homotopia regular.

Meu palpite é que era nisso que Kauffman estava pensando. A propósito, classes regulares de homotopia de imersões$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$pode ser completamente classificado. Pegando a derivada de tal imersão e reescalonando para fazer a derivada ter comprimento unitário, você obtém um mapa associado$S^1 \rightarrow S^1$. O grau desse mapa é chamado de grau de imersão, e o teorema de Whitney-Graustein diz que esse grau é um invariante completo. Este teorema é um precursor do teorema de imersão de Hirsch-Smale, que para o caso especial de imersões$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ inclui as famosas "eversões de esfera" de Smale que viram a esfera de dentro para fora.

4 ScottCarter Aug 20 2020 at 00:36

Um diagrama é desenhado no plano. Restringir a nós (não links). Oriente a curva e associe a cada cruzamento um (+/-) por meio de uma regra da mão direita: palma ao longo do cruzamento com o dedo mínimo apontando para a curva de orientação para + subcruzamento. Polegar para cima = sinal +. Soma todos os cruzamentos. Esta é a contorção. O Writhe determina a auto-ligação do nó com um push-off. Desenhe \ infty +, \ infty- e 0. O \ infty + tem o arco com + inclinação como arco superior. Desenhe uma curva push-off no plano e calcule o número de ligação <- cálculo complicado, melhor feito usando movimentos RI para formar a ligação Hopf. O nó e um push-off vinculam um anel. Se a auto-ligação # do nó for 0, então o anel se estende a uma superfície Seifert. O push-off define uma longitude preferida. Mas, em geral, a curva emoldurada no quadro negro tem auto-vinculação = contorção. Com uma curva \ alpha - \ gamma, você pode desenhar isso de 4 maneiras. 2 tem 0 contorção, 1 tem +2, o outro -2. Aqueles com 0 se contorcem são regularmente homotópicos a desconexos. Os outros 2 requerem movimentos do tipo I. Em algum lugar em Kauffman, você verá um truque de Whitney. A curva alfa-gama tem 1 torção para fora e 1 para dentro. Existem curvas alfa-alfa e curvas gama-gama: duas ou duas em resp. Em ambos os casos, a contorção pode ser organizada como um fio de telefone ou pode ser cancelada. Os casos de cancelamento são complicados. Lá os diags estão em S ^ 2. Por exemplo, o bigon delimitado no caso gama gama está do lado de fora. É por isso que você precisa realizar a isotopia emoldurada em S ^ 3 em vez de R ^ 3. [! [Curvas 0 e - / + infinito