Fitas embutidas e isotopia regular
Estou lendo o artigo de Kauffman de 1990 "An Invariant of Regular Isotopy" sobre nós que são isotópicos apenas por movimentos de Reidemeister Tipo II e III, que é conhecido como isotopia regular. Seu artigo afirma que há uma relação entre a isotopia regular e as bandas incorporadas ($S^1 \times [0,1]$) dentro $S^3$. Ele se refere ao livro de Burde's Knots, mas não consigo encontrar nenhuma menção à isotopia regular, porque parece que Kauffman cunhou essa frase no jornal, depois que o texto de Burde foi escrito.
Acho que uma isotopia regular de nós corresponde a uma banda embutida. No entanto, estou preocupado que possa haver uma patologia que estou esquecendo. Alguém tem uma descrição precisa do relacionamento?
Respostas
A partir de qualquer diagrama de nó, pode-se obter um nó emoldurado usando a "moldura do quadro-negro". O ponto de isotopia regular dos diagramas de nós é que ele preserva esse enquadramento do quadro-negro. Visto que os nós emoldurados e as bandas embutidas são a mesma coisa, a isotopia regular também preservará a banda embutida correspondente ao quadro do quadro-negro do diagrama de nós.
Presumo que isso seja discutido com mais detalhes em Burde, talvez em termos de nós emoldurados. Também é possível que Burde não discuta os nós emoldurados, pois acho que as pessoas ficaram muito mais interessadas neles após a descoberta do polinômio de Jones / o TQFT de Chern-Simons. E eu concordo: acho que Kauffman cunhou o termo "isotopia regular", então provavelmente não é usado em Burde.
Isso é mais um comentário do que uma resposta, mas espero que seja útil. Existe uma noção muito mais antiga e mais bem estudada de homotopia regular . Deixei$X$ e $Y$ sejam variedades suaves e deixe $f,g\colon X \rightarrow Y$ser imersões. Então$f$ e $g$ são regularmente homotópicos se forem homotópicos por imersões.
Vamos nos concentrar em classes regulares de homotopia de imersões $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Essa imersão é o que você obtém de um diagrama de nós, esquecendo os cruzamentos acima / abaixo. Não é difícil ver que se$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ são imersões regularmente homotópicas com autointerseções transversais, então $f$ pode ser transformado em $g$por uma sequência dos análogos óbvios dos movimentos de Reidemeister II / III. No entanto, você não pode executar um análogo de um Reidemeister I move, pois no momento em que você puxa seu loop, a derivada tem que desaparecer, então não é uma homotopia regular.
Meu palpite é que era nisso que Kauffman estava pensando. A propósito, classes regulares de homotopia de imersões$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$pode ser completamente classificado. Pegando a derivada de tal imersão e reescalonando para fazer a derivada ter comprimento unitário, você obtém um mapa associado$S^1 \rightarrow S^1$. O grau desse mapa é chamado de grau de imersão, e o teorema de Whitney-Graustein diz que esse grau é um invariante completo. Este teorema é um precursor do teorema de imersão de Hirsch-Smale, que para o caso especial de imersões$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ inclui as famosas "eversões de esfera" de Smale que viram a esfera de dentro para fora.

