Forçamento de produto de sistemas simétricos
Dada uma família de noções forçadas $(P_i)_{i\in I}$ nós podemos pegar o produto $P:=\prod_{i\in I}P_i$ como uma noção de força para criar um filtro genérico do formulário $G=(G_i)_{i\in I}$ tal que para cada $i\in I$ a projeção $G_i$ corresponde ao filtro genérico criado ao forçar com $P_i$. Isso é chamado de força de produto e nos permite unir vários tipos diferentes de objetos genéricos de uma vez. (Para uma discussão mais detalhada sobre o assunto, consulte Forçamento de produto e objetos genéricos )
Agora, minha pergunta é se e como o forçamento do produto pode ser combinado com o forçamento simétrico. Suponha que temos uma família de noções forçadoras como acima e uma família de grupos$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ bem como $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ de tal modo que $\mathcal{G}_i$ é um subgrupo de $Aut(P_i)$ e $\mathcal{F}_i$ é um filtro normal em $\mathcal{G}_i$ para todos $i\in I$. Podemos apenas definir$P$ como acima com $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ agindo em $P$ componente e $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ como um filtro normal em $\mathcal{G}$ ?
Por exemplo, considere o modelo simétrico original de Cohen de $ZF+\neg AC$ onde ele junta contáveis muitos reais genéricos e, em seguida, prossegue para construir um subconjunto infinito $A\subset \mathbb{R}$sem qualquer subconjunto infinito contável. Então, a construção descrita acima deve nos permitir unir$I$ muitos desses conjuntos $(A_i)_{i\in I}$ de uma vez só.
Há alguma complicação que possa ocorrer com este tipo de construção (isto é, forçamento simétrico de produto)? Existe alguma literatura sobre o assunto?
Respostas
Sim, há muito disso na literatura. Embora muito pouco nas formas de "estrutura abstrata". Isso é algo que foi feito essencialmente desde os primeiros dias de forçar, e você pode encontrar evidências disso nos primeiros artigos.
Em minhas obras
Karagila, Asaf , Iterating symmetric extensions , J. Symb. Registro. 84, No. 1, 123-159 (2019). ZBL1448.03038 .
Karagila, Asaf , The Morris model , Proc. Sou. Matemática. Soc. 148, No. 3, 1311-1323 (2020). ZBL07159661 .
Você pode encontrar um tratamento mais geral. Produtos são um caso particular de uma iteração, e o primeiro artigo trata do caso em que o suporte é finito. No caso de um produto, no entanto, podemos dispensar algumas das dificuldades em generalizar iterações para suportes arbitrários, e parte do trabalho é feito no segundo artigo.
Além disso, você pode ver os produtos definidos "à mão" em muitos lugares, é fácil ver que as definições são válidas para qualquer tipo de sistema simétrico (mas os produtos são normalmente usados com forçantes do tipo Cohen). Aqui estão alguns exemplos recentes, principalmente do meu trabalho que girou neste tópico com bastante frequência, e exemplos mais antigos.
Hayut, Yair; Karagila, Asaf , Spectra of uniformity. , Commentat. Matemática. Univ. Carol. 60, No. 2, 287-300 (2019). ZBL07144894 .
Karagila, Asaf , Incorporando ordens aos cardeais com (\ mathsf {DC} _ {\ kappa}) , Fundam. Matemática. 226, No. 2, 143-156 (2014). ZBL1341.03068 .
Karagila, A. , o lema de Fodor pode falhar em qualquer lugar , Acta Math. Pendurado. 154, No. 1, 231-242 (2018). ZBL1413.03012 .
Monro, GP , Independence results referentes a conjuntos finitos de Dedekind , J. Aust. Matemática. Soc., Ser. A 19,35-46 (1975). ZBL0298.02066 .
Roguski, Stanisław , Uma classe adequada de cardeais incomparáveis em pares , Colloq. Matemática. 58, No. 2, 163-166 (1990). ZBL0706.03038 .
Entre todos esses, você verá suportes finitos, contáveis (ou $\kappa$-) suporta, Easton suporta, e você verá que pular para qualquer outra coisa (que agora é apenas outro tipo de suporte misto é realmente a mesma coisa).
Na verdade, temos até mais potência agora já que podemos falar em mudar o suporte no produto dos filtros e dos grupos. Você pensaria que isso significa que podemos dizer muito mais, mas, na verdade, geralmente é irrelevante.
Em meu artigo sobre iterações, descrevi um conceito chamado "tenacidade". Perto do final do meu Ph.D. em uma das muitas discussões que tive com Yair Hayut, decidimos tentar descobrir o que realmente está por trás desse conceito. E descobriu-se que todo sistema simétrico é equivalente a um tenaz. E isso significa que jogar com diferentes suportes (ou seja, suporte finito nos filtros enquanto usa Easton no forçamento) é geralmente equivalente a qualquer suporte menor que você esteja usando. Não necessariamente sempre, mas geralmente.
Quanto ao modelo Cohen, é um pouco complicado. Cada genérico é real e não nos preocupamos apenas com eles, mas também com o conjunto de todos os genéricos. Portanto, este não é realmente um produto, mas sim uma iteração de adicionar cada real, violando a escolha por não adicionar o conjunto de todos os reais e, em seguida, forçar a adicionar o conjunto de genéricos sem sua ordem correta. Tudo isso torna a abordagem de apenas pensar nisso como uma única extensão muito mais simples.