Função de geração de momento aplicada em $2t$

Question

Estou tendo alguns problemas com este problema, adaptado de Grimmet & Welsh:

E se $X + Y$ e $X - Y$ são independentes, mostre que \begin{align} M\left(2t\right) = M\left(t\right)^{3}M\left(-t\right), \end{align} Onde $X,Y$ são RV independentes com média $0$, variância $1$ e $M(t)$ finito.

Como provar isso? Faz$X$ e $Y$precisa ter distribuição normal? Obrigado!

Answer 1

Dicas:

• $M(2t) = E[e^{2tX}]$
• $M(t) = E[e^{tX}] = E[e^{tY}]$
• $M(-t) = E[e^{-tY}]$
• $2X = (X+Y) + (X-Y)$
• E se $U$ e $V$ são variáveis ​​aleatórias independentes, então $E[f(U)g(V)] = E[f(U)] E[g(V)]$.