Função de geração simples não está funcionando da maneira que eu interpreto?

Question

Suponha que deixamos A ser todas as sequências de zeros e uns, com função geradora$F (z) = 1/(1 − 2z)$.

Agora suponha que podemos anexar um único ou duplo primo a cada$0$ou$1$, dando$0′$ou$0′′$ou$1′$ou$1′′$, e queremos uma função geradora para o número de sequências de bits distintas com$n$primos anexados.

O conjunto {$’$,$’’$} tem função geradora$G(z) = z + z^2$então o conjunto composto tem função geradora$$F (G(z)) = 1/(1 − 2(z + z^2 ))= 1/(1 − 2z − 2z^2 )$$

Nisso, quando extraio o coeficiente de$z^2$, Eu recebo$6$, mas quando eu contar manualmente, deve haver$12$. Eu obtive$6$a partir de$1 + 2(z + z^2 )+ 4(z + z^2 )^2$, e as$12$vem de cada opção como titular tendo duas opções de secundário quando$n = 2$.

Estou confuso sobre por que estou recebendo$6$, porque quando eu conto sozinho, recebo pares$(0,0’’), (0,1’’), (1,1’’), (1,0’’), (0’ ,0’), (0’ ,1’), (1’ ,1), (1’ ,0), (0’’ ,0), (0’’ ,1), (1’’ ,1), (1’’ ,0)$qual é$12$

Posso estar interpretando mal o que o n deveria ser? Eu pensei que era para ser igual ao peso do termo, então$z^2$teria$n=2$?

Ou estou interpretando mal o que esta função geradora está contando?

Answer 1

$G(z)$não é o GF para$\{',''\}$porque não são números ou uma sequência.

$G(z)=z+z^2$é o GF para$a_1=1, a_2=1, a_n=0, n\ge2$.

Sua namorada é A002605 ,$a_n = 2(a_{n-1} + a_{n-2})$.