Funções de densidade de massa: como existe densidade de massa em pontos?
Muitas vezes discutimos densidade de massa, densidade de carga e outras funções: $\rho(x,y)$ para placas ultrafinas e $\rho(x,y,z)$para objetos 3-d. As unidades para a saída dessas funções dizem massa ou carga / volume unitário, como$\frac{kg}{m^3}$ ou $\frac{C}{m^3}$. Não consigo compreender a densidade em um único ponto.
Suspeito que, quando dizemos massa por unidade de volume "em um ponto", queremos dizer a massa contida no volume imediatamente ao redor do ponto. Aqui, dizemos "imediatamente ao redor" em um sentido de cálculo, de modo que o volume se aproxima de zero. Dessa forma, o conjunto de todos os pontos ainda é o objeto completo.
Isso está correto? Ou eu errei o alvo?
Respostas
Quando dizemos que a densidade de massa é $\rho(x,y,z)$, queremos dizer que a massa dentro de qualquer região finita $R$ É dado por $$ M(R) = \int_R \rho(x,y,z)\ dx\,dy\,dz. $$ Em outras palavras, especificando a densidade de massa $\rho(x,y,z)$ é uma maneira concisa de descrever a função que leva uma região $R$ como entrada e retorna a massa $M(R)$ nessa região como saída.
A região $R$pode ser arbitrariamente pequeno, então sua intuição está no caminho certo. Se pegarmos$R$para ser um ponto , então a massa$M(R)$ é zero, não importa quão grande seja a densidade de massa (desde que seja finita).
A substância (que constitui a massa) é discreta. Temos moléculas, átomos, partículas menores, etc, ...
Há indícios de que o próprio espaço também é discreto (veja sobre o comprimento de Planck), mas não sabemos ao certo.
Então, novamente, às vezes (quase sempre, na verdade) é útil aproximar a substância como lisa e homogênea em escalas pequenas o suficiente e usar todo o aparato de cálculo que temos disponível que usa números reais.
É assim que a densidade se torna um campo escalar.
Basicamente, você está correto. A massa contida em um ponto (quando falamos de materiais contínuos) é zero.
No entanto, podemos de fato ter uma pequena quantidade de comprimento, área ou volume, matematicamente descrito como$dx$, $dA$, ou $dV$ se aproximando de zero. Eles são chamados de elementos de comprimento, área ou volume. Para encontrar a massa inteira, é necessário somar todos os produtos de todas as densidades de massa infinitamente pequenas com os elementos de comprimento, área ou volume em todos os pontos da massa no caso 1, 2 ou 3 d. Este somatório se torna uma parte integrante dos produtos das densidades$\rho$ com os três elementos diferentes (assumindo $\rho$ é independente da posição em $x$, $A$, ou $V$):
$$m_{tot}=\int _x\rho dx,$$
para uma massa em uma linha,
$$m_{tot}=\int _A\rho dA,$$
para uma massa em uma superfície, e
$$m_{tot}=\int _V\rho dV,$$
para uma massa em um volume.
Se a densidade de massa é dependente da posição na massa, basta substituir $\rho$ de $\rho (x)$, $\rho (A)$e $\rho (V)$.
A densidade de massa em um ponto é definida de duas maneiras:
- o limite da densidade de massa média em um volume contendo o ponto conforme o volume diminui para zero, e
- como um campo que se integra para dar massa.
Entender como e quando essas duas definições são a mesma coisa requer alguma teoria de medida - momento em que você aprende como elas não são a mesma coisa.
Exemplo de como eles são a mesma coisa. Suponha que a densidade de massa (campo) seja uma constante$1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$em cada ponto em consideração. Deixei$x$ser um tal ponto. Vamos calcular o limite de (por simplicidade) densidades médias de volume esférico para esferas centradas em$x$. Deixei$r$ seja o raio em $\mathrm{cm}$. O volume,$V$, e massa, $m$, está \begin{align*} V(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ m(r) &= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}} 1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \text{.} \end{align*}
(As unidades explícitas podem fazer essa massa parecer uma densidade. Lembre-se de que "$r$" dentro "$r^3$"tem unidades de distância que cancelam as unidades de distância no denominador das unidades explícitas.)
Então, a densidade de massa em $x$ é $\lim_{r \rightarrow 0} \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 1 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$. Observe que devemos considerar o limite como$r \rightarrow 0$. Não podemos avaliar a relação entre massa e volume em$r = 0$uma vez que isso envolve divisão por zero. Agora, um gráfico da função da qual estamos calculando o limite. A partir do cancelamento algébrico (permitido abaixo do limite, mas não fora desse limite), esperamos ver uma função constante.
O ponto $(0,1)$é omitido porque a divisão por zero é indefinida. Para descobrir o valor lá, usamos um limite. Observe que se o campo de densidade variou (pequenas flutuações em torno de uma densidade média e / ou uma tendência para densidades maiores ou menores longe de$x$) veríamos essas variações na curva. Este modelo muito simples não possui esses recursos.
Acrescentarei outro ponto de vista, já que a questão só parece algo muito avançado ou que só surge nessa área da física: O que você está perguntando é exatamente semelhante ao paradoxo da flecha de Zenão:https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes#Arrow_paradox
Basicamente, tenho certeza de que você está familiarizado com os derivados, mas eles não são intuitivos quando aplicados a quantidades arbitrárias. Certamente podemos falar de uma velocidade média ao longo de alguma duração ∆ t , e raciocinar que ao restringir a duração para um único instante de tempo, obtemos a velocidade instantânea em um dado momento - uma quantidade útil que sabemos estar bem definida.
"Mas para ter velocidade, você precisa viajar, e você não pode viajar se o tempo não passar!" Sim, é a mesma coisa com não haver uma densidade "instantânea" intuitiva (dm / dV) se você olhar para um ponto de massa, mas mesmo assim trabalhamos com derivadas e elas funcionam. :)