Generalizando o processo de soma para conjuntos infinitos

Aug 16 2020

Hoje me peguei pensando sobre a soma de todos os números inteiros$\mathbb Z$.

Nós sabemos isso$\mathbb Z$é um conjunto contável, o que significa que podemos listar todos os elementos de$\mathbb Z$, assim podemos resolver o problema usando somas:

$$\sum_{z\in \mathbb Z}z=\sum_{z=1}^\infty z + (-z) = 0$$

Portanto, temos que a soma de todos os números inteiros é 0. Pelo mesmo argumento, temos que a soma de todos os números racionais$\mathbb Q$também é 0.

Minha primeira pergunta é: esse argumento é válido e correto?


Então eu me pergunto: Então qual é a soma de todos os números reais$\mathbb R$?

Ao contrário de$\Bbb Z$e$\Bbb Q$, o conjunto$\Bbb R$não é contável. Isso significa que é impossível listar os números de$\Bbb R$e, portanto, impossível somar todos os números usando uma soma. A primeira coisa que me veio à cabeça foram integrais. Às vezes tendo a pensar em integrais como a versão contínua da soma. Assim, podemos expressar a soma de todos os números reais como:

$$\int_{-\infty}^\infty x \ dx = 0$$

Isso nos permite somar todos os elementos de conjuntos incontáveis. Por exemplo, o de todos os elementos de$(0,1)$, usando este método seria:

$$\int\limits_{x\in (0,1)} x \ dx = \int_0^1 x \ dx = \frac{1}{2}$$

Minha segunda pergunta é: essa generalização está correta?


Minha terceira pergunta ocorre quando, assumindo que esse método está correto, tentei calcular a soma de todos os números irracionais. Se o método estiver correto, a soma de todos os números irracionais seria:

$$\int\limits_{x\in\mathbb I} x \ dx$$

Mas não sei como calcular a integral porque (não sei o termo matemático adequado para o que estou prestes a dizer, então desculpe se não soa muito rigoroso) tem "buracos" nela. Entre cada 2 números irracionais existe sempre um número racional!

Se tentarmos integrar uma função sobre$(0,1) \cup (2,3)$também tem um buraco nisso, mas podemos dividir a integral em duas: uma sobre$(0,1)$e o outro acabou$(2,3)$. Se tentarmos fazer uso disso em nossa integral sobre$\mathbb I$nós obteríamos:

$$\sum_{q \in \Bbb I} \int\limits_{x\in\{q\}} x \ dx$$

Mas temos dois problemas com isso:

  • Em primeiro lugar, essa integral é uma integral sobre um ponto, e isso é sempre zero. Portanto, isso não é ideal porque significaria que a soma de qualquer conjunto incontável será sempre zero.

  • Não podemos usar uma soma regular porque, novamente, o conjunto$\Bbb I$não é contável.

Então, tentamos evitar a soma regular generalizando-a com integrais, mas ela aparece novamente!

Então minha terceira e última pergunta é: Mesmo que minha generalização não esteja correta, ainda é possível calcular essa integral?

Respostas

WilliamElliot Aug 17 2020 at 00:38

Tais especulações falsas fornecem várias respostas, como$\Sigma$Z
= 0 + 1 + 2 - 1 + 3 - 1 + ...
= 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... =$\infty$
= 0 - 1 - 2 + 1 - 3 + 2 - 4 + 3 - ...
= 0 - 1 - 1 - 1 - 1 - ... = -$\infty$