Grupos Fuchsianos de gênero positivo

Aug 16 2020

Deixei $G$ ser uma rede em $SL(2,\mathbb{R})$. É sempre verdade que existe um subgrupo de índice finito$F$ do $G$ de modo que o quociente de superfície $\mathbb{H}/F$tem gênero positivo? A afirmação é verdadeira sob algum conjunto geral de suposições? Por favor, você pode adicionar uma referência?

Respostas

3 MoisheKohan Aug 17 2020 at 00:28

Sim, é verdade, mas provar isso é mais fácil do que encontrar uma referência.

  1. Cada grupo de matriz finitamente gerado (por exemplo, uma rede em $PSL(2, {\mathbb R})$contém um subgrupo sem torção. O resultado geral é devido a Selberg, mas para subgrupos discretos de$PSL(2, {\mathbb R})$ certamente era conhecido antes.

  2. Em vista de 1, basta provar que todas as superfícies $S$ homeomórfico para a esfera bidimensional com $n\ge 3$ punções admite uma cobertura finita $S'\to S$ de tal modo que $S'$tem gênero positivo. Suponha primeiro que$n$é estranho. Perfurações circundantes$p_i$ por pequenos loops $c_i$. Vou pensar nisso como elementos de$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$. Agora, considere o homomorfismo$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ onde a primeira flecha é Hurewicz e a segunda envia $[c_1], [c_2]$ para $1$ e o resto de $[c_i]$é para $0$. Pegue a cobertura de 2 dobras$S_1\to S$ correspondendo ao kernel de $\alpha$. Então$S_1$ é $2+ 2(n-2)$-vezes esfera perfurada. Assim, o problema se reduz ao caso de esferas com número par de perfurações.

  3. Deixei $S$ estar $S^2$ com $n=2k\ge 4$perfurações. Da mesma forma que (2), defina o homomorfismo$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
    onde a segunda seta manda tudo $[c]_i$para o elemento diferente de zero de ${\mathbb Z}_2$. Deixei$S'\to S$ denotam a cobertura de 2 dobras correspondente ao núcleo de $\beta$. Então$S'$ terá $2k$ perfurações e gênero $k-1>0$. (Este é um exercício de topologia de superfícies. A extensão natural de$S'\to S$a uma cobertura ramificada de superfícies compactas é chamada de mapa de cobertura hiperelíptica .)

Editar. 1. Se você quiser uma referência, um resultado ideal está em

Edmonds, Allan L .; Ewing, John H .; Kulkarni, Ravi S. , Torsion free subgroups of Fuchsian groups and tessellations of surface , Invent. Matemática. 69, 331-346 (1982). ZBL0498.20033 .

Pode ser declarado como: Suponha que $F_1, F_2$ são treliças em $G=PSL(2, {\mathbb R})$. Então$F_2$ incorpora em $F_1$ (como um grupo abstrato) com índice $k$se e somente se a condição de Riemann-Hurwitz for satisfeita:$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
Depois de desvendar as definições, isso implica uma resposta positiva à questão do gênero positivo.

  1. A fim de aplicar o seu resultado, é preciso saber (e eles têm isso como certo) que cada rede em $G$ tem a apresentação $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$Esta apresentação pode ser encontrada nos artigos de Poincaré sobre as funções fuchsianas. É difícil dizer se ele realmente tinha uma prova (isso se aplica a quase tudo que eu tentei ler escrito por Poincaré, mas outros podem discordar), mas ele tinha uma ferramenta para provar o resultado, a saber, domínios fundamentais convexos. Provavelmente, uma prova mais sólida pode ser encontrada nos papéis de Dehn (não tentei). A referência sólida mais antiga que conheço para a existência de um conjunto gerador finito para redes$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ é

Siegel, Carl Ludwig , Some remarks on discontinuous groups , Ann. Matemática. (2) 46, 708-718 (1945). ZBL0061.04505 .

Sem surpresa, Siegel usa polígonos fundamentais para provar o resultado: ele prova a existência de um polígono fundamental finito e, como consequência, concluiu um limite superior explícito no número de geradores em termos da área do quociente ${\mathbb H}^2/\Gamma$. Este teorema da finitude é válido em uma generalidade muito maior, para reticulados em grupos de Lie conectados, mas esta é outra história (que também complicou a história a ponto de não estar claro a quem creditar esse resultado, claramente fundamental). Uma coisa que não tenho certeza é:

Embora a existência de conjuntos geradores finitos para redes em grupos de Lie conectados seja conhecida, eu não conheço uma referência sólida a um limite superior explícito no número de geradores em termos de volume do quociente (no caso sem torção) .

  1. Em relação à "Conjectura de Fenchel" de que cada rede em $G=PSL(2, {\mathbb R})$contém um subgrupo livre de torção de índice finito: A história é um tanto bizarra. Quando a conjectura foi declarada pela primeira vez é difícil / impossível dizer. É mencionado no artigo de Nielsen

J. Nielsen, Kommutatorgruppen para det frie produkt af cykliske grupper , Matematisk Tidsskrift. B (1948), pp. 49-56.

O artigo de Nielsen, notavelmente, não contém nenhuma referência.

No entanto, na época do aparecimento do artigo de Nielsen, a conjectura de Fenchel já estava comprovada. A prova está principalmente contida em:

Mal'tsev, AI , Na representação fiel de grupos infinitos por matrizes , Am. Matemática. Soc., Transl., II. Ser. 45, 1-18 (1965); tradução de Mat. Sb., N. Ser. 8 (50), 405-422 (1940). ZBL0158.02905 .

Agora, cada treliça $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ é gerado finitamente e contém apenas finitamente muitos $\Gamma$-classes de conjugação de elementos de ordem finita. (Isso, no mínimo, vem do teorema de Siegel sobre polígonos fundamentais que, como eu disse, provavelmente eram conhecidos por Poincaré.) O teorema de Mal'tsev implica que se$\Gamma$ é um grupo matricial finitamente gerado, então para cada coleção finita de não triviais $\Gamma$- aulas de conjugação $C_1,...,C_k$, existe um subgrupo de índice finito $\Gamma'< \Gamma$ separar de $C_1,...,C_k$. Ao combinar os dois resultados, cada estrutura em$G=PSL(2, {\mathbb R})$ contém um subgrupo livre de torção de índice finito.

Uma solução completa da conjectura de Fenchel foi reivindicada pela Fox em

Fox, Ralph H. , On Fenchel's conjecture about (F) -groups, Mat. Tidsskr. B 1952, 61-65 (1952). ZBL0049.15404 .

que claramente desconhecia o artigo de Mal'tsev. A solução da Fox revelou-se parcialmente errada, com um erro (em um dos casos) corrigido em:

Chau, TC , uma nota sobre o artigo de Fox sobre a conjectura de Fenchel , Proc. Sou. Matemática. Soc. 88, 584-586 (1983). ZBL0497.20035 .

Naquela época (23 anos antes), Selberg provou um resultado ainda mais geral em:

Selberg, Atle , On grupos descontínuos em espaços simétricos de dimensão superior, Contrib. Teoria da Função, Int. Colloqu. Bombay, janeiro de 1960, 147-164 (1960). ZBL0201.36603 .

Selberg provou que cada grupo de matrizes finitamente gerado contém um subgrupo livre de torção de índice finito. Selberg também desconhecia o artigo de Mal'tsev, mas pelo menos não estava repassando algo que já estava lá. A questão é que um grupo de matrizes finitamente gerado$\Gamma$ pode ter infinitamente muitos $\Gamma$- classes de conjugação de subgrupos finitos, portanto, não se pode simplesmente aplicar o resultado de Mal'tsev.

1 SamNead Aug 17 2020 at 14:52

Uma observação sobre o Passo (1) na prova de Moishe Kohan. Este problema (de encontrar um índice finito, subgrupo livre de torção de uma rede em$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$) foi chamada de "Conjectura de Fenchel". Foi resolvido por Ralph H. Fox. Veja seu artigo:

Sobre a conjectura de Fenchel sobre os grupos F

e trabalhos posteriores (para outras provas e para correções de trabalhos anteriores).